Analiza matematyczna, zadanie nr 812
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
a1a1a1 postów: 28 | 2012-12-20 14:38:26 Obliczyć granice ciągów: a) $a_{n}$=$\frac{1+4+7+...+(3n-2)}{n^2}$ b) $b_{n}$=1-2+3-4+...-2n/$\sqrt{n^2+1}$ c) $c_{n}$=${n+2 \choose n}$/$n^{2}$ d) $d_{n}$=$\frac{1}{n}$${n \choose 1}$+$\frac{1}{n^2}$${n \choose 2}$+$\frac{1}{n^3}$${n \choose 3}$ e) $e_{n}$= 4$\cdot$$3^{n+1}$ +2 $\cdot$$4^{n}$/5$\cdot$$2^{n}$+$4^{n+2}$ f) $f_{n}$= 1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+...+$\frac{1}{2^n}$/(1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+...+$\frac{1}{3^n}$) g) $g_{n}$=$\sqrt{n^2+n}$-$\sqrt{n^2-n}$ Proszę o rozwiązanie kilku przykładów tutaj (tych trudniejszych zwłaszcza żeby można było się dowiedzieć skąd co się wzięło). |
irena postów: 2636 | 2012-12-20 15:26:16 a) W liczniku masz sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz to 1 i różnica 3. $1+4+...+(3n-2)=\frac{1+3n-2}{2}\cdot n=\frac{n(3n-1)}{2}=\frac{3n^2-n}{2}$ $a_n=\frac{\frac{3n^2-n}{2}}{n^2}=\frac{3n^2-n}{2n^2}=\frac{n^2(3-\frac{1}{n})}{n^2\cdot2}=\frac{3-\frac{1}{n}}{2}\to \frac{3}{2}$ |
irena postów: 2636 | 2012-12-20 15:30:00 b) Licznik: $1+3+5+...+(2n-1)-(2+4+6+...+2n)=\frac{1+2n-1}{2}\cdot n-\frac{2+2n}{2}\cdot n=$ $=n^2-n(n+1)=n^2-n^2-n=-n$ $b_n=\frac{-n}{\sqrt{n^2+1}}=-\frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\to-1$ |
irena postów: 2636 | 2012-12-20 15:33:40 ${n+2\choose n}=\frac{(n+2)!}{n!\cdot2!}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{n^2+3n+2}{2}$ $c_n=\frac{n^2+3n+2}{2n^2}=\frac{n^2(1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2})}{n^2\cdot2}=\frac{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}{2}\to\frac{1}{2}$ |
irena postów: 2636 | 2012-12-20 15:43:10 d) ${n\choose1}=n$ ${n\choose2}=\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2-n}{2}$ ${n\choose3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}=\frac{n^3-3n^2+2n}{6}$ $d_n=\frac{n}{n}+\frac{n^2-n}{2n^2}+\frac{n^3-3n^2+2n}{6n^3}=$ $=1+\frac{1-\frac{1}{n}}{2}+\frac{1-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}{6}\to1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{5}{3}$ ${n\choose 1}=\frac{n!}{(n-1)!\cdot1!}=\frac{n}{1}=n$ ${n\choose 2}=\frac{n!}{2!\cdot(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}$ ${n\choose3}=\frac{n!}{(n-3)!\cdot3!}=\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}$ |
irena postów: 2636 | 2012-12-20 15:48:17 e) $e_n=\frac{4\cdot3^{n+1}+2\cdot4^n}{5\cdot2^n+4^{n+2}}=\frac{12\cdot3^n+2\cdot4^n}{5\cdot2^n+16\cdot4^n}=$ $=\frac{4^n(12\cdot(\frac{3}{4})^n+2)}{4^n(5\cdot(\frac{2}{4})^n+16)}=\frac{12\cdot(\frac{3}{4})^n+2}{5\cdot(\frac{2}{4})^n+16}\to\frac{0+2}{0+16}=\frac{1}{8}$ |
irena postów: 2636 | 2012-12-20 15:58:56 f) Licznik to suma nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 1, a iloraz $q=\frac{1}{2}$ $a_n=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^n}\to\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$ Mianownik- suma nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 1, a iloraz $q=\frac{1}{3}$ $b_n=1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^n}\to\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$ $f_n=\frac{a_n}{b_n}$ $\lim_{n\to\infty}f_n=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}=\frac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$ |
irena postów: 2636 | 2012-12-20 16:03:17 g) $g_n=\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}=\frac{n^2+n-n^2+n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}=\frac{2n}{n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}})}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}\to\frac{2}{1+1}=1$ |
a1a1a1 postów: 28 | 2012-12-21 00:11:37 Dziękuję bardzo |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj