Analiza matematyczna, zadanie nr 816
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| jacknoise postów: 14 |  2012-12-21 17:11:12Zbadaj, czy szereg jest rozbieżny, zbieżny warunkowo czy bezwzględnie (za pomocą warunku koniecznego, kryterium porównawczego, Leibnitza, d'Alemberta, Cauchy'ego, twierdzeń o zbieżności warunkowej i bezwzględnej): A) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{ln(n+1)}$ B) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{n}}{(n+1)!}$ C) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n3^{n-1}}{4^{n+1}}$ |
| tumor postów: 8070 | 2012-12-21 17:54:02 A) Mamy $ln(n+1)\le n$, czyli $\frac{1}{ln(n+1)}\ge\frac{1}{n}$ zatem szereg bezwzględnie zbieżny nie jest (kryterium porównawcze). Z kryterium Leibniza jest zbieżny warunkowo, bowiem $\frac{1}{ln(n+1)}$ jest malejący i zbieżny do $0$ |
| tumor postów: 8070 | 2012-12-21 18:00:12 B) Nie jest spełniony warunek konieczny, bowiem jeśli $a_n=\frac{n^n}{(n+1)!}$, to $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+2)!}}{\frac{n^n}{(n+1)!}}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^n}{n^n}\frac{n+1}{n+2}=e>1$ Nie jest zbieżny bezwzględnie ani warunkowo. |
| tumor postów: 8070 | 2012-12-21 18:07:16 C) $a_n=\frac{n3^{n-1}}{4^{n+1}}= \frac{n3^{n}}{3*4*4^{n}}$ $a_{n+1}=\frac{(n+1)3^{n+1}}{3*4*4^{n+1}}$ z d'Alemberta $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(n+1)3^{n+1}}{3*4*4^{n+1}}}{\frac{n3^{n}}{3*4*4^{n}}}= \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}\frac{3}{4}=\frac{3}{4}<1$ szereg zbieżny bezwzględnie ----------- Uwaga Warunek konieczny sprawdzamy zawsze najpierw. Ja nie piszę, ale to nie znaczy, że nie sprawdzam. A wspominam o nim tylko, gdy nie jest spełniony, bo wtedy nie ma co liczyć dalej. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj