Analiza funkcjonalna, zadanie nr 821
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sympatia17 post贸w: 42 |  2012-12-27 17:02:17Niech $\Omega$ b臋dzie zwart膮 przestrzeni膮 topologiczn膮 Hausdorffa, a $K$ zbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Niech $C(\Omega)$ oznacza zbi贸r funkcji ci膮g艂ych okre艣lonych na $\Omega$ o warto艣ciach w zbiorze $K$ $C(\Omega)=\left\{x:\Omega \rightarrow K; x - ci膮g艂a \right\}$ Wykazac, 偶e $C(\Omega)$ z norm膮 $||x||=\sup_{t \in \Omega} |x(t)|$ jest przestrzeni膮 Banacha. Wykaza艂am, 偶e jest to norma. Niech teraz $\left\{x_n\right\}$ b臋dzie ciagiem z $C(\Omega)$ spe艂aniaj膮cym warunek Cauchy\'ego: $\forall_{\epsilon>0} \exists_{N_0 \in N} \forall_{n,m \in N} ||x_n-x_m||<\epsilon$ Nale偶y wykaza膰, 偶e ci膮g $x_n \mapsto x_0 \in C(\Omega)$, tzn. 偶e ci膮g funkcji $\left\{x_n\right\}$ jest zbie偶ny do funkcji $x_0$, kt贸ra jest ci膮g艂a. Prosz臋 o pomoc w udowodnieniu tej cz臋艣ci zadania. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-09-06 21:52:49 K jest zupe艂na, wobec czego dla $t\in \Omega x_n(t)$ ma granic臋, skoro jest ci膮giem Cauchy\'ego, a jest nim, skoro $x_n$ z norm膮 supremum jest ci膮giem Cauchy\'ego. Nale偶y jeszcze pokaza膰, 偶e graniczna funkcja $x_0$ jest ci膮g艂a. Ustalmy $\epsilon>0$ i dowolne $t\in \Omega$ Skoro $x_0$ jest granic膮 ci膮gu $x_n$, to istnieje $m\in N$ pocz膮wszy od kt贸rego $sup|x_n-x_0|<\frac{\epsilon}{3}$ i podobnie skoro $x_n$ ci膮g艂a, to istnieje U otoczenie punktu t dla kt贸rego dla $n>m$ jest $s\in U \Rightarrow |x_n(s)-x_0(s)|<\frac{\epsilon}{3}$ Wobec tego dla $s\in U$ mamy $|x_0(s)-x_0(t)|<\epsilon$, czyli $x_0$ ci膮g艂a w $t$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj