Algebra, zadanie nr 827
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
mat12 postów: 221 | 2012-12-28 19:09:28 Czy $\mathbb{Z}[X], \mathbb{R}[X]$ są pierścieniami ideałów głównych? proszę o pomoc.z góry dzięki |
mat12 postów: 221 | 2012-12-29 17:16:07 pomoże ktoś? bardzo proszę |
tumor postów: 8070 | 2013-01-05 08:53:23 Jeśli $K$ jest ciałem, to $K[X]$ jest pierścieniem ideałów głównych. Gdzieś się przewija takie twierdzenie. Zatem $R[X]$ jest pierścieniem ideałów głównych. Jak przebiega rozumowanie? Skoro $K$ jest ciałem, to dla $p(x),q(x)\in K[X]$ istnieje $NWD$, to znaczy najwyższy stopniem wielomian $w(x)$ taki, że dzieli i $p(x)$ i $q(x)$ i należy on do ideału $I$. Stąd wynika, że każdy ideał $I$ jest główny, bowiem jest równy $<NWD\{a: a\in I\}>$, da się znaleźć generator. By pokazać, że $Z[X]$ nie jest (twierdzenie wyżej nie mówi CZY jest, ale nie jest) pierścieniem ideałów głównych, należy znaleźć ideał, który nie jest główny. Niech $I=<x,2>$. O ile w liczbach rzeczywistych $NWD(x,2(x))=1(x)$ należał do $I$, to już w całkowitych wcale tak nie jest! Inaczej mówiąc, istnieją $c_1, c_2\in R$ takie, że $1(x)=c_1x+c_22(x)$, ale nie istnieją $c_1, c_2\in Z$ takie, że $1(x)=c_1x+c_22(x)$. $(x,2)$ nie jest ideałem głównym w $Z[X]$. --- $1(x)$ czy $2(x)$ oznaczają wielomiany stale równe $1$ lub $2$, napisałem je jak wielomiany żeby było jasne, że nie chodzi tu i współczynniki, ale właśnie wielomiany. Natomiast ideał generowany napisałem w nawiasach $<>$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj