logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 827

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2012-12-28 19:09:28

Czy $\mathbb{Z}[X], \mathbb{R}[X]$ są pierścieniami ideałów głównych?

proszę o pomoc.z góry dzięki


mat12
postów: 221
2012-12-29 17:16:07

pomoże ktoś?
bardzo proszę


tumor
postów: 8070
2013-01-05 08:53:23

Jeśli $K$ jest ciałem, to $K[X]$ jest pierścieniem ideałów głównych. Gdzieś się przewija takie twierdzenie. Zatem $R[X]$ jest pierścieniem ideałów głównych.

Jak przebiega rozumowanie? Skoro $K$ jest ciałem, to dla $p(x),q(x)\in K[X]$ istnieje $NWD$, to znaczy najwyższy stopniem wielomian $w(x)$ taki, że dzieli i $p(x)$ i $q(x)$ i należy on do ideału $I$.
Stąd wynika, że każdy ideał $I$ jest główny, bowiem jest równy $<NWD\{a: a\in I\}>$, da się znaleźć generator.

By pokazać, że $Z[X]$ nie jest (twierdzenie wyżej nie mówi CZY jest, ale nie jest) pierścieniem ideałów głównych, należy znaleźć ideał, który nie jest główny.
Niech $I=<x,2>$. O ile w liczbach rzeczywistych $NWD(x,2(x))=1(x)$ należał do $I$, to już w całkowitych wcale tak nie jest!
Inaczej mówiąc, istnieją $c_1, c_2\in R$ takie, że $1(x)=c_1x+c_22(x)$, ale nie istnieją $c_1, c_2\in Z$ takie, że $1(x)=c_1x+c_22(x)$.
$(x,2)$ nie jest ideałem głównym w $Z[X]$.

---

$1(x)$ czy $2(x)$ oznaczają wielomiany stale równe $1$ lub $2$, napisałem je jak wielomiany żeby było jasne, że nie chodzi tu i współczynniki, ale właśnie wielomiany.
Natomiast ideał generowany napisałem w nawiasach $<>$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj