logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 830

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mistergol
postów: 21
2012-12-29 12:57:56

Ok, przedostatnie zadanie do roztrzaskania...
całka z cos2x / cos^2x,
jakieś pomysły? Traktować ją jako całkę wymierną? Znaleźć taki licznik, żeby pasował do części mianownika? Tz jego pochodnej? Liczę na pomoc, pozdrawiam! :)


irena
postów: 2636
2012-12-29 15:05:49

$\frac{cos2x}{cos^2x}=\frac{2cos^2x-1}{cos^2x}=2-\frac{1}{cos^2x}$

$\int\frac{cos2x}{cos^2x}dx=\int(2-\frac{1}{cos^2x})dx=2\int dx-\int\frac{dx}{cos^2x}=(*)$

$tgx=t$
$\frac{dx}{cos^2x}=dt$

$(*)=2\int dx-\int dt=2x-t=2x-tgx+C$


mistergol
postów: 21
2013-01-07 15:07:37

Kurczę, a ta pierwsza linijka, konkretniej zamiana cos2x/cos^2x na 2-1/cos^2x to skąd się wzięła? To też jakaś zależność trygonometryczna?


tumor
postów: 8070
2013-01-07 17:08:52

Tak, to zależność trygonometryczna.

Jeśli zaś naprawdę chcesz wiedzieć, jak tę zależność sobie uzasadnić, to można ze wzoru Eulera:

$e^{ix}=cosx+isinx$

Wtedy

$e^{i2x}=cos2x+isin2x$ i zarazem
$e^{i2x}=(e^{ix})^2=(cosx+isinx)^2=cos^2x-sin^2x+i2sinxcosx$

Stąd $cos2x=cos^2x-sin^2x=cos^2x-(1-cos^2x)=2cos^2x-1$
(a przy okazji $sin2x=2sinxcosx$)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj