Analiza matematyczna, zadanie nr 842
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| rosee1993 postów: 1 |  2013-01-05 15:35:04Czy z warunków $a_{n} \to k \in \mathbb{R}$ oraz $b_{n} \to 0$ można wywnioskować coś o granicy $\frac{a_{n}}{b_{n}}$? Można przyjąć dodatkowe założenia, jeśli są konieczne. |
| tumor postów: 8070 | 2013-01-05 17:33:19 Żeby mówić o granicy $\frac{a_n}{b_n}$ trzeba mieć pewność, że wyrażenie $\frac{a_n}{b_n}$ ma sens liczbowy, czyli zakładamy, że $b_n\neq 0$. A) $k \neq 0$ a1) Jeśli począwszy od pewnego $n_0$ dla wszystkich $n\ge n_0$ zachodzi $a_n*b_n>0$ (czyli $a_n$ i $b_n$ są jednocześnie dodatnie lub jednocześnie ujemne) to $\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty$ a2) Jeśli począwszy od pewnego $n_0$ dla wszystkich $n\ge n_0$ zachodzi $a_n*b_n<0$ (czyli $a_n$ i $b_n$ są różnych znaków) to $\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty$ a3) Jeśli nie istnieje $n_0$ takie, że spełnione są warunki z a1) lub z a2), to nie istnieje granica $\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$ B) $k=0$ Granica może być dowolną liczbą rzeczywistą, może być niewłaściwa w + lub - nieskończoności, może też nie istnieć. Przykłady A) a1) $a_n=1-\frac{1}{n}, b_n=\frac{1}{n}$ a2) $a_n=\frac{1}{n}-1, b_n=\frac{1}{n}$ a3) $a_n=(-1)^n(\frac{1}{n}-1), b_n=\frac{1}{n}$ B) b1) jeśli chcemy mieć granicę równą $c\in R$, to wystarczy wziąć $a_n=\frac{c}{n}, b_n=\frac{1}{n}$ b2) jeśli chcemy mieć granicę równą $\infty,$ to na przykład $a_n=\frac{1}{n}, b_n=\frac{1}{n^2}$ b3) jeśli chcemy mieć granicę równą $-\infty$, to na przykład $a_n=\frac{-1}{n}, b_n=\frac{1}{n^2}$ b4) jeśli chcemy by granica w ogóle nie istniała, to na przykład $a_n=\frac{(-1)^n}{n}, b_n=\frac{1}{n^2}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj