Analiza matematyczna, zadanie nr 877

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
333bbb postów: 6	2013-01-15 17:12:25 Obliczyć granice ciągów, ale proszę przynajmniej w pierwszych 3 o wyjaśnienie: a) $a_{n}$=$\sqrt{n+\sqrt{n}}$ - $\sqrt{n-\sqrt{n}}$ b) $b_{n}$=$\sqrt{n(n-\sqrt{n^2-1)}}$ c) $c_{n}$=n($\sqrt{2n^2+1}$-$\sqrt{2n^2-1}$) d) $d_{n}$=$\frac{1}{2n}$cos$n^{3}$-$\frac{3n}{6n+1}$ e) $e_{n}$=$\frac{nsinn!}{n^2+1}$ f) $f_{n}$=$\sqrt[n]{2n^3-3n^2+15}$ g) $g_{n}$=$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}$

tumor postów: 8070	2013-01-15 17:21:29 a) różnice pierwiastków rozpisuje się dość standardowo $\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}= \sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}*\frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}= \frac{n+\sqrt{n}-n+\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}= \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{\sqrt{n}}{n}}+\sqrt{1-\frac{\sqrt{n}}{n}})}\rightarrow 1 $ Na początku używamy wzoru skróconego mnożenia, żeby nie mieć różnicy pierwiastków, a mieć różnicę liczb pod pierwiastkiem, a w mianowniku sumę pierwiastków. Pod koniec w mianowniku wyłączyliśmy przed nawias $\sqrt{n}$, żeby to, co zostaje w nawiasie, dążyło do liczby rzeczywistej (konkretnie 2), a pierwiastki się skracają, stąd granica.

tumor postów: 8070	2013-01-15 17:29:26 b) Policzmy granicę bez tego zewnętrznego pierwiastka $n(n-\sqrt{n^2-1})= n(n-\sqrt{n^2-1})\frac{n+\sqrt{n^2-1}}{n+\sqrt{n^2-1}}= n\frac{1}{n(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}})}\rightarrow\frac{1}{2}$ Tu podobnie zaczynamy od wzoru skróconego mnożenia, żeby się załatwić z odejmowaniem. Potem z mianownika wyłączamy n przed nawias, natomiast wnętrze nawiasu dąży do liczby 2. Wyłączone n skraca się, stąd ostateczna granica. Jeśli byśmy nie omijali tego pierwiastka, w którym wszystko siedzi, to dostalibyśmy granicę $\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ Wiadomość była modyfikowana 2013-01-15 17:57:38 przez tumor

tumor postów: 8070	2013-01-15 17:34:41 c) $n(\sqrt{2n^2+1}-\sqrt{2n^2-1})= n(\sqrt{2n^2+1}-\sqrt{2n^2-1})\frac{\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{2n^2-1}}{\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{2n^2-1}}= n\frac{2}{\sqrt{2}n(\sqrt{1+\frac{1}{2n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{2n^2}})}\rightarrow \frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ Dokładnie te same kroki. Wzór skróconego mnożenia, dzięki któremu redukujemy większość wyrażeń w liczniku, natomiast w mianowniku wyłączamy przed sumę to, co się da, a w nawiasie zostaje wyrażenie dążące do liczby 2.

tumor postów: 8070	2013-01-15 17:38:52 d) $\frac{1}{2n}cosn^3\rightarrow 0$, bo $\frac{1}{2n}\rightarrow 0$, a $cosn^3$ ograniczony (jest twierdzenie o granicy iloczynu takich ciągów). Natomiast $-\frac{3n}{6n+1}\rightarrow -\frac{1}{2}$ (wystarczy wyłączyć n przed nawias w liczniku i mianowniku) Skoro te granice istnieją, to suma takich ciągów będzie mieć granicę równą sumie granic. $\frac{1}{2n}cosn^3-\frac{3n}{6n+1}\rightarrow 0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$

tumor postów: 8070	2013-01-15 17:41:40 e) $\frac{n}{n^2+1} \rightarrow 0$ (taką granicę zawsze mamy, gdy dzielimy wielomian przez wielomian, a stopień mianownika jest większy niż stopień licznika. Otrzymujemy ją wyłączając przed nawias n w odpowiedniej potędze) $sinn!$ - ograniczony $\frac{n}{n^2+1}*sinn! \rightarrow 0$

tumor postów: 8070	2013-01-15 17:45:50 f) Zauważmy, że dla odpowiednio dużych n zachodzi $\sqrt[n]{n^3} \le f_n \le \sqrt[n]{2n^3}$ Wiemy, że $\sqrt[n]{n}\rightarrow 1$ (zapewne się pojawiło na wykładzie, jak to liczyć) $\sqrt[n]{n^3}=\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{n}\rightarrow 1^3=1$ $\sqrt[n]{2n^3}=\sqrt[n]{2}\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{n}*\sqrt[n]{n}\rightarrow 1^4=1$ z twierdzenia o 3 ciągach także $f_n \rightarrow 1$

tumor postów: 8070	2013-01-15 17:56:51 g) Tu sobie pozwolę zauważyć, że $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{2n}}}\le g_n\le \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=1$ a teraz wyłączę $\sqrt{n}$ przed nawias w mianowniku lewego wyrażenia $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{2n}}}= \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n(1+\frac{\sqrt{2n}}{n})}}= \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{\sqrt{2n}}{n}}}\rightarrow 1$ z twierdzenia o trzech ciągach także $g_n \rightarrow 1$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj