Teoria mnogości, zadanie nr 879

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
staramilusia postów: 3	2013-01-15 22:20:37 Dzień dobry. Czy moglibyście mi pomóc z poniższymi zadaniami? Zupełnie nie wiem jak się za nie zabrać. 1. Udowodnić, że $A \cap C \subseteq B$ wtedy i tylko wtedy, gdy $C \subseteq C' \cup B$. 2. Znaleźć $\bigcup_{t\in\Re^+} A_t \hbox{ i } \bigcap_{t\in\Re^+}A_t$, gdzie: a) $A_t=(1-\frac{1}{t},2+\sqrt{t})$, dla $t\in\Re^+$ b) $A_t=\left[\sqrt{t},\sqrt{2t}\right]$, dla $t\in\Re^+$ 3. Czy relacja $R = \{(0, 3), (1, 3), (1, 5), (4, 5), (4, 2)\}$ w zbiorze $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ jest przechodnia? Znaleźć najmniejszą relację równoważności zawierającą relacje $R$.

tumor postów: 8070	2013-01-16 07:36:23 1. Nieprawda. Może gdzieś treść jest niedokładnie przepisana? Na przykład dla $A=\{1,2\}$ $B=\{1,3\}$ $C=\{1,4\}$ Mamy $A\cap C\subset B$ ale nie jest prawdą, że $C\subset C`\cup B$

tumor postów: 8070	2013-01-16 07:55:33 2. a) $\bigcup A_t=\mathbb{R}$ Weźmy bowiem dowolny $x\in \mathbb{R}$. Jeśli $x<1$ , to znajdziemy $t\in \mathbb{R}^+$ taki, że $1-\frac{1}{t}<x$ i wtedy $1-\frac{1}{t}<x<1<2+\sqrt{t}$, Jeśli $x\ge 1$, to znajdziemy $t\in \mathbb{R}^+$ taki, że $1 \le x<2+\sqrt{t}$ i wtedy $1-\frac{1}{t}<1 \le x<2+\sqrt{t}$ $\bigcap A_t=[1,2]$ Zauważmy bowiem, że $\forall_{t\in \mathbb{R}^+}$ mamy $1\in A_t$ oraz $2\in A_t$, a wszystkie $A_t$ są przedziałami i zawierają cały przedział $[1,2]$. Niech teraz $x>2$, niech $\epsilon=x-2$ i niech $t=\left\{\begin{matrix} \epsilon \mbox{ dla } \epsilon\ge 1\\ \epsilon^2 \mbox{ dla } \epsilon< 1 \end{matrix}\right.$ Wtedy $x\notin A_t$. Niech $x<1$, $\epsilon=1-x$ oraz $t=\frac{1}{\epsilon}$. Wtedy $x\notin A_t$.

tumor postów: 8070	2013-01-16 08:07:50 2. b) $\bigcup A_t=\mathbb{R}^+$ Niech $x\in\mathbb{R}^+$, wtedy dla $t=x^2$ mamy $x=\sqrt{t}$ czyli $x\in A_t$ Natomiast niech $x\in \mathbb{R}$ oraz $x\le 0$. Wtedy dla każdego $t\in \mathbb{R}^+$ mamy $x<\sqrt{t}$ $\bigcap A_t=\emptyset$ Jeśli $x\in \mathbb{R}$ oraz $x\le 0$, to załatwione, bo co nie należy do sumy, to nie należy też do przekroju. Jeśli $x\in\mathbb{R}^+$, wtedy niech $t=x^2+2\pie^{4+cos(lnx)}$, wtedy $x<\sqrt{t}$ A jeśli ktoś nie rozumie ostatniego zdania, to wystarczy pokazać, że $A_1\cap A_{100}=\emptyset$

tumor postów: 8070	2013-01-16 08:34:13 3. Jest przechodnia. Nie istnieją $x,y,z \in \{0,1,2,3,4,5\}=X$ takie, że $xRy$ i $yRz$, zatem dla każdego $x,y,z \in X$ jeśli $xRy$ i $yRz$, to $xRz$ By uzyskać relację równoważności, dodajemy do $R$ wszystkie pary $(x,x)$ i jeśli mieliśmy $(a,b)\in R$, to dodajemy do $R$ parę $(b,a)$. Otrzymamy $R_2=\{(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (0,3), (3,0), (1,3), (3,1), (1,5), (5,1), (4,5), (5,4), (4,2), (2,4)\}$ Zauważmy, że relacja $R_2$ nie jest już przechodnia, bo na przykład $0R_23$ i $3R_21$, ale nie mamy $0R_21$. Musimy zatem zrobić domknięcie przechodnie, co się zrobi w miarę szybko z uwagi na niewielką moc zbioru. Musimy, mówiąc prościej, dodać wszelkie pary wymagane przez przechodniość: $(0,1), (1,0), (1,4), (4,1), (1,2), (2,1),..$ (tu właściwie możemy przestać myśleć, bo skoro mamy wszelkie pary $(x,1)$ i $(1,x)$ to jedyną relacją przechodnią będzie relacja pełna). Zatem najmniejszą relacją równoważności zawierającą $R$ jest relacja $X\times X$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj