logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 880

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

staramilusia
postów: 3
2013-01-15 22:23:45

Oto część dalsza zadań. Proszę o pomoc w rozwiązaniu.

5. Niech $g : \N \times \N \to \N$ będzie taka, że $g(n, k) = nk$, dla dowolnych $n, k \in \N$. Zbadać, czy $g$ jest różnowartościowa i czy jest na $\N$.

6. Niech $F : \N^{\N} \to P(\N)$ będzie taka, że $F(f) = f^{-1}(\{1\})$. Czy $F$ jest różnowartościowa i czy jest na $P(\N)$? Znaleźć obraz zbioru funkcji stałych i przeciwobraz zbioru $\{\{10\}\}$.

7. Niech $R$ będzie taką relacją w zbiorze $\Z^{\N}$, że $f R g$ zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy $\exists_n \forall_m (m > n \to f(m) = g(m))$. Pokazać, że $R$ jest relacją równoważności. Wskazać trzy różne klasy abstrakcji względem relacji $R$.


tumor
postów: 8070
2013-01-16 08:35:58

5. Pytasz czy mnożenie w liczbach naturalnych jest różnowartościowe. Oczywiście nie.
$g(12,1)=g(3,4)$

Pytasz, czy każda liczba naturalna może być wynikiem takiego mnożenia. Tak.
$n\in N$ dowolne
$g(n,1)=n$




tumor
postów: 8070
2013-01-16 08:46:30

6.
Funkcja $F$ nie jest różnowartościowa
Weźmy $f(n)=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{ dla } n=1 \\ 2 & \mbox{ w pozostałych przypadkach} \end{matrix}\right.$

$g(n)=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{ dla } n=1 \\ 4 & \mbox{ w pozostałych przypadkach} \end{matrix}\right.$

Wtedy $F(f)=\{1\}=F(g)$.

Funkcja $F$ jest na $P(N)$.
Niech bowiem dowolnie $A\subset N$
Zdefiniujmy

$f(n)=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{ dla } n\in A \\ 666 & \mbox{ w pozostałych przypadkach} \end{matrix}\right.$

Wtedy $F(f)=A$

Niech $B$ oznacza funkcje stałe. $F[B]=\{N, \emptyset\}$
$F^{-1}[\{\{10\}\}]=\{f\in N^N: f(10)=1 \wedge (x\neq 10 \Rightarrow f(x)\neq 1)\}$


tumor
postów: 8070
2013-01-16 08:54:58

7.
Dwie funkcje są w relacji równoważności, jeśli dla argumentów większych od jakiegoś $n$ są równe.

a) zwrotna. Oczywiście, bo $f$ jest zawsze równa $f$, nie tylko od pewnego miejsca

b) symetryczna. Oczywiście, bo jeśli $f$ jest od pewnego miejsca równa $g$, to $g$ jest od tego miejsca równa $f$.

c) przechodnia. Tu jest to bardziej trywialne niż oczywiste. Jeśli $f$ jest od pewnego miejsca równa $g$, a $g$ od pewnego miejsca równa $h$, to od WIĘKSZEGO z tych miejsc począwszy na pewno $f=g=h$)

(Przy tym użyłem języka potocznego. Funkcje $f,g $ "równe od pewnego miejsca" to takie, dla których istnieje $n\in N$, że dla wszystkich naturalnych $m>n$ zachodzi $f(m)=g(m)$ )


Przykładowe klasy równoważności to
$[1]$
$[2]$
$[3]$
(Czyli klasy wyznaczone przez FUNKCJE STAŁE o wartościach odpowiednio 1,2,3)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj