Algebra, zadanie nr 881

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
staramilusia postów: 3	2013-01-16 16:13:14 Hej. Mam jeszcze jedno zadanie z którym nie potrafię sobie poradzić. Dla dowolnych zbiorów X i Y oraz funkcji $f:X \to Y$ rozważamy funkcję $g:P(Y) \to P(X)$ taką, żę $g(A)=f^{-1}[A]$, dla $A \subseteq Y$.Udowodnić, że 'g' jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy 'f' surjekcją.

tumor postów: 8070	2013-01-16 16:54:50 Załóżmy, że g nie jest iniekcją, czyli istnieją różne zbiory $B_1, B_2$, takie, że $g(B_1)=g(B_2)$. Zbiory są różne, to znaczy zachodzi co najmniej jeden z warunków: a) $B_1 \backslash B_2 \neq \emptyset$ b) $B_2 \backslash B_1 \neq \emptyset$ Dla ustalenia uwagi uznamy, że zachodzi a). Skoro $g(B_1)=g(B_2)$ to $f^{-1}[B_1]=f^{-1}[B_2]$ Niech $y\in B_1 \backslash B_2$, wtedy $f^{-1}[\{y\}]=\emptyset$, skoro dla każdego $x$ mamy $f(x)\in B_1 \Rightarrow f(x) \in B_2$. Zatem $f$ nie jest suriekcją. Niech $f$ nie będzie suriekcją. To znaczy niech istnieje $y\in Y$ taki, że $f^{-1}[\{y\}]=\emptyset$. Weźmy teraz $A\neq \emptyset$ taki, że $y\notin A$. Oczywiście $f^{-1}[A]=f^{-1}[\{y\}\cup A]$, czyli czyli $g(A)=g(\{y\}\cup A)$, zatem $g$ nie jest iniekcją. ----------- Dowód się dało przeprowadzić wprost, ale jakoś mi przez zaprzeczenie odruchowo wyszło.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj