Analiza matematyczna, zadanie nr 885

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dzasta93 postów: 9	2013-01-17 17:02:55 Prosiłabym Was o rozwiązanie dwóch zadań i wytłumaczenie mniej więcej o co chodzi. Bardzo proszę Was, ponieważ jutro te zad mogą się pojawić na kolosie. Z góry wielkie dzięki! Zad.1 Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej y=f(x) w punkcie o odciętej $x_{0}$, jeśli: a) f(x)=$x^{2}$, $x_{0}$=2 b) f(x)=3$x^{2}$-1, $x_{0}$=1 c) f(x)=$e^{1-x}$, $x_{0}$=1 d) f(x)=ln(1+$x^{2}$), $x_{0}$=0 Zad.2 Znaleźć rozwinięcie w szereg Maclaurina dla funkcji: a) f(x)=sin(x) b) f(x)=cos(x) c) f(x)=$\frac{1}{1-x}$ d) f(x)=$\frac{1}{1+x}$ e) f(x)=ln(1+x) f) f(x)=sinh(x) Wiadomość była modyfikowana 2013-01-17 17:03:43 przez dzasta93

tumor postów: 8070	2013-01-17 17:15:21 1) a) Kierunek stycznej dostajemy licząc pochodną w punkcie (wszak granica ilorazu różnicowego ma właśnie taką interpretację geometryczną). $y=ax+b$ to wzór stycznej i $a=f`(x_0)$ Prosta $y=ax$ przechodziłaby przez środek układu współrzędnych bez pewności, że styka się z wykresem $f$ w wyznaczonym punkcie. Zatem przesuwamy wykres o wektor $[x_0,f(x_0)]$ Czyli ostateczny wzór funkcji to $y=f`(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ co po podstawieniu daje $y=4(x-2)+4$ I dasz radę sobie przekształcić. :) b) $y=f`(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ $y=6(x-1)+2$ c) $y=-1(x-1)+1$ d) $y=0(x-0)+0$

dzasta93 postów: 9	2013-01-17 17:59:34 Dzięki wielkie, już rozumiem na czym te zadanie polega. Tylko mam pytanie a propo f(x)=$e^{1-x}$, jak będzie wyglądała pochodna tej funkcji?

tumor postów: 8070	2013-01-17 18:13:15 $ -e^{1-x}$

tumor postów: 8070	2013-01-17 19:00:24 2) $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ a) $f(x)=sinx$ $f(x)=sin(0)+cos(0)x-\frac{1}{2}sin(0)x^2-\frac{1}{6}cos(0)x^3+...$ Zauważmy, że wyrazy z sin (czyli dla $n$ parzystego) są równe $0$ dostaniemy $f(x)=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-...$ $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ b) $f(x)=cosx$ Stosując analogiczne rozumowanie $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n)!}x^{2n}$

dzasta93 postów: 9	2013-01-17 19:05:21 Mam pytanie co do całek wymiernych, czy jest jakiś prosty, a wręcz najprostszy sposób na rozwiązanie takiej całki np.: a) $\int$$\frac{2x^{2}+8x+5}{x^{2}+x-2}$ Wiadomość była modyfikowana 2013-01-17 19:14:35 przez dzasta93

tumor postów: 8070	2013-01-17 19:25:04 c) $f(x)=\frac{1}{1-x}$ Policzmy pochodną $(\frac{c}{(1-x)^k})`=\frac{ck(1-x)^{k-1}}{(1-x)^{2k}}=\frac{ck}{(1-x)^{k+1}}$ zatem $f^{(n)}(0)=n!$ zatem $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ d) licząc bardzo podobnie jak wyżej $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$

tumor postów: 8070	2013-01-17 19:37:46 Całka. Jeśli licznik ma stopień większy lub równy stopniowi mianownika, to robimy tak: $\frac{2x^2+8x+5}{x^2+x-2}= \frac{2(x^2+x-2)+6x+9}{x^2+x-2}=2+\frac{6x+9}{x^2+x-2}$ Jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, to czasem się da rozwiązać szybko, jeśli licznik jest pochodną mianownika (być może pomnożoną przez stałą). Tu tak nie jest. W takim przypadku metodą uniwersalną jest rozkład na ułamki proste. Całego rozkładania nie omówię, od tego są podręczniki. Jeśli mianownik to $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, to rozkład na ułamki proste wygląda tak: $\frac{6x+9}{x^2+x-2}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$ gdzie A i B wyliczamy $A(x-1)+B(x+2)=6x+9$ $A+B=6$ $2B-A=9$ $B=5, A=1$ Ostatecznie $\int \frac{2x^2+8x+5}{x^2+x-2} dx = \int 2+\frac{6x+9}{x^2+x-2} dx= \int 2 dx + \int \frac{1}{x+2}dx+ \int \frac{5}{x-1}dx$ co już chyba łatwo dokończyć

tumor postów: 8070	2013-01-17 19:49:45 2) e) $ln(1+x)$ Jeśli zaczniemy liczyć pochodne, to się przekonamy, że są podobne do tych z przykładu d), z jedną drobną zmianą na początku i z przesunięciem indeksu. Polecam to jako ćwiczenie zrobić samemu. Wyjdzie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}}{n}x^n$ f) $sinh(x)$ $f(x)=sinh(0)+cosh(0)x+\frac{1}{2}sinh(0)x^2+\frac{1}{6}cosh(0)x^3+...$ wiemy, że $sinh(0)=0$ a $cosh(0)=1$ $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj