logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 885

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dzasta93
postów: 9
2013-01-17 17:02:55

Prosiłabym Was o rozwiązanie dwóch zadań i wytłumaczenie mniej więcej o co chodzi. Bardzo proszę Was, ponieważ jutro te zad mogą się pojawić na kolosie. Z góry wielkie dzięki!

Zad.1
Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej y=f(x) w punkcie o odciętej $x_{0}$, jeśli:
a) f(x)=$x^{2}$, $x_{0}$=2
b) f(x)=3$x^{2}$-1, $x_{0}$=1
c) f(x)=$e^{1-x}$, $x_{0}$=1
d) f(x)=ln(1+$x^{2}$), $x_{0}$=0

Zad.2
Znaleźć rozwinięcie w szereg Maclaurina dla funkcji:
a) f(x)=sin(x)
b) f(x)=cos(x)
c) f(x)=$\frac{1}{1-x}$
d) f(x)=$\frac{1}{1+x}$
e) f(x)=ln(1+x)
f) f(x)=sinh(x)

Wiadomość była modyfikowana 2013-01-17 17:03:43 przez dzasta93

tumor
postów: 8070
2013-01-17 17:15:21

1)
a)
Kierunek stycznej dostajemy licząc pochodną w punkcie (wszak granica ilorazu różnicowego ma właśnie taką interpretację geometryczną).

$y=ax+b$ to wzór stycznej i $a=f`(x_0)$

Prosta $y=ax$ przechodziłaby przez środek układu współrzędnych bez pewności, że styka się z wykresem $f$ w wyznaczonym punkcie. Zatem przesuwamy wykres o wektor $[x_0,f(x_0)]$

Czyli ostateczny wzór funkcji to

$y=f`(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

co po podstawieniu daje
$y=4(x-2)+4$

I dasz radę sobie przekształcić. :)

b)
$y=f`(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$
$y=6(x-1)+2$

c) $y=-1(x-1)+1$

d) $y=0(x-0)+0$



dzasta93
postów: 9
2013-01-17 17:59:34

Dzięki wielkie, już rozumiem na czym te zadanie polega. Tylko mam pytanie a propo f(x)=$e^{1-x}$, jak będzie wyglądała pochodna tej funkcji?


tumor
postów: 8070
2013-01-17 18:13:15

$ -e^{1-x}$


tumor
postów: 8070
2013-01-17 19:00:24

2)

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

a) $f(x)=sinx$

$f(x)=sin(0)+cos(0)x-\frac{1}{2}sin(0)x^2-\frac{1}{6}cos(0)x^3+...$
Zauważmy, że wyrazy z sin (czyli dla $n$ parzystego) są równe $0$

dostaniemy
$f(x)=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-...$
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

b) $f(x)=cosx$

Stosując analogiczne rozumowanie
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n)!}x^{2n}$


dzasta93
postów: 9
2013-01-17 19:05:21

Mam pytanie co do całek wymiernych, czy jest jakiś prosty, a wręcz najprostszy sposób na rozwiązanie takiej całki np.:

a) $\int$$\frac{2x^{2}+8x+5}{x^{2}+x-2}$

Wiadomość była modyfikowana 2013-01-17 19:14:35 przez dzasta93

tumor
postów: 8070
2013-01-17 19:25:04

c) $f(x)=\frac{1}{1-x}$

Policzmy pochodną
$(\frac{c}{(1-x)^k})`=\frac{ck(1-x)^{k-1}}{(1-x)^{2k}}=\frac{ck}{(1-x)^{k+1}}$

zatem $f^{(n)}(0)=n!$

zatem $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$

d) licząc bardzo podobnie jak wyżej

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$


tumor
postów: 8070
2013-01-17 19:37:46

Całka.

Jeśli licznik ma stopień większy lub równy stopniowi mianownika, to robimy tak:

$\frac{2x^2+8x+5}{x^2+x-2}=
\frac{2(x^2+x-2)+6x+9}{x^2+x-2}=2+\frac{6x+9}{x^2+x-2}$

Jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, to czasem się da rozwiązać szybko, jeśli licznik jest pochodną mianownika (być może pomnożoną przez stałą). Tu tak nie jest.

W takim przypadku metodą uniwersalną jest rozkład na ułamki proste. Całego rozkładania nie omówię, od tego są podręczniki.

Jeśli mianownik to $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, to rozkład na ułamki proste wygląda tak:
$\frac{6x+9}{x^2+x-2}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$

gdzie A i B wyliczamy

$A(x-1)+B(x+2)=6x+9$
$A+B=6$
$2B-A=9$
$B=5, A=1$

Ostatecznie
$\int \frac{2x^2+8x+5}{x^2+x-2} dx = \int 2+\frac{6x+9}{x^2+x-2} dx= \int 2 dx + \int \frac{1}{x+2}dx+ \int \frac{5}{x-1}dx$

co już chyba łatwo dokończyć


tumor
postów: 8070
2013-01-17 19:49:45

2)
e) $ln(1+x)$

Jeśli zaczniemy liczyć pochodne, to się przekonamy, że są podobne do tych z przykładu d), z jedną drobną zmianą na początku i z przesunięciem indeksu. Polecam to jako ćwiczenie zrobić samemu.

Wyjdzie
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}}{n}x^n$


f) $sinh(x)$

$f(x)=sinh(0)+cosh(0)x+\frac{1}{2}sinh(0)x^2+\frac{1}{6}cosh(0)x^3+...$
wiemy, że $sinh(0)=0$ a $cosh(0)=1$
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj