Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 894

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
bartekcmg postów: 39	2013-01-19 13:58:37 $\int_{2^{x}}/\sqrt{1-4^{x}}dx$ za t podstawiłem $2^{x}$ dt wyszło $2^{x}ln2dx$ i nie wiem co dalej... proszę o wskazówki

bartekcmg postów: 39	2013-01-19 19:42:41 $2^{x}$ jest w liczniku - nie wiedziałem jak to napisać

tumor postów: 8070	2013-01-19 19:48:14 Na przykład używając ułamka z menu po lewej. :) masz $dt=2^xln2dx$ $\frac{1}{ln2}dt=2^xdx$ No i podstaw to do całki. :) $\int \frac{1}{ln2}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$ co jest dość łatwą całką. Na koniec należy wrócić na zmienną x. :)

bartekcmg postów: 39	2013-01-20 09:17:08 czegoś tu jednak nie rozumiem... skoro $t=2^{x}$, to dlaczego z$dt/ln2 =2^{x}dx$?? przecież $2^{x}$ z licznika jest już zamienione na t... czyli do zamiany na t zostały już tylko $dx$ i $\sqrt{1-4^{x}}$ ... proszę o wytłumaczenie

tumor postów: 8070	2013-01-20 09:34:24 Zanim podstawisz wyliczasz t= dt= Podstawić masz w taki sposób, żeby zniknął $x$. NIE chodzi o to, żeby tam, gdzie widzisz $2^x$ włożyć odruchowo $t$, a na końcu mieć $dx$ i nie wiedzieć, co zrobić dalej. Chodzi o to, żeby zastosować podstawienie zgodnie z twierdzeniem o podstawieniu. Jeśli masz całkę postaci $a) \int f(g(x))g`(x)dx$ to podstawienie $t=g(x)$ da całkę $\int f(t)dt$ No i patrzymy na przykład. $\int 2^x\sqrt{1-(2^x)^2}dx$ Tu nie widać wyraźnie, że to całka tej postaci, co w a), ale gdy przekształcimy na: $\int \frac{1}{ln2}\sqrt{1-(2^x)^2}*2^xln2dx$, to możemy zauważyć, że $f(\bigstar)=\frac{1}{ln2}\sqrt{1-(\bigstar)^2}$ $g(x)=2^x$ $g`(x)=2^x ln 2$ I teraz używamy twierdzenia o podstawieniu. Dostaniemy to, co napisałem.

bartekcmg postów: 39	2013-01-20 12:06:03 $2^{x}$ jest w liczniku ! Tam jest ułamek Tylko nie wiedziałem jak to zapisać .

tumor postów: 8070	2013-01-20 12:15:30 Przepraszam. Wcześniej zauważyłem, teraz nie. :P Należy zmienić $f(\bigstar)=\frac{1}{ln2}\frac{1}{\sqrt{1-(\bigstar)^2}}$ reszta tak samo dostaniemy właśnie $\int \frac{1}{ln2}\frac{1}{\sqrt{1-(g(x))^2}}g`(x)dx$ czyli po podstawieniu $t=g(x)=2^x$ $dt=g`(x)dx=2^xln2dx$ $\int \frac{1}{ln2}*\frac{1}{\sqrt{1-(t)^2}}dt$ :)

bartekcmg postów: 39	2013-01-20 12:26:43 to ja przepraszam, nie umiałem zapisać ułamka

klops postów: 2	2014-01-30 12:18:24 To 2^x=t ni jak się nie ma do 4^x=t^2 =(2^x)^2=2^2x;/

xtopeczkax postów: 69	2014-01-30 13:00:20 To chyba tak powinno być $\int\frac{2^x}{\sqrt{1-4^x}}dx=podst \ u=2^x \ du=2^xlog2=\int\frac{1}{\sqrt{1-u^2}lg2}du=\frac{1}{log2}\int\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=\frac{sin^{-1}u}{log2}+C=\frac{sin^{-1}2^x}{log2}+C$

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj