Algebra, zadanie nr 897

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-01-19 19:45:07 Stwierdzić czy to prawda czy fałsz: a) Każdy ideał I w pierścieniu (P,$+,\cdot$) jest jego podgrupą (P,$\cdot$) b) Zbiór elementów odwracalnych w pierścieniu P tworzy ideał w P c) Każdy wielomian z pierścienia $\mathbb{C}[X]$ ma pierwiastek w $\mathbb{C}$ d) Jedynymi ciałami skończonymi są ciała $\mathbb{Z_{p}}$, gdzie p-liczba pierwsza. e) Żaden dzielnik zera nie jest elementem odwracalnym f) Każdy wielomian nierozkładalny nad P jest nierozkładalny nad K(P) g) Liczba $\sqrt[n]{2}$ jest algebraiczną stopnia n h) Iloczyn kartezjański pierścienia P$\times$P z działaniami 'po współrzędnych' nigdy nie jest ciałem. moje odpowiedzi to: a)fałsz b)fałsz c)prawda d)prawda e)prawda f)fałsz g)prawda h)fałsz proszę o odpowiedz czy te odp są poprawne czy nie(z wyjaśnieniem jeśli coś jest źle)

tumor postów: 8070	2013-01-19 20:11:36 c - wielomian n-tego stopnia ma n (być może powtarzających się) pierwiastków. Co powiesz o wielomianach stopnia zerowego, równych niezerowej stałej? d - ciała skończone mogą mieć nie tylko p-elementów, dla liczby pierwszej p, ale też $p^n$, dla dowolnego $n\in N_+$ i liczby pierwszej p. Zerknij do jakiegoś podręcznika algebry, w którym jest rozdział o ciałach skończonych "Przegląd algebry współczesnej" Birkhoff, Mac Lane "Zarys algebry" Białynicki-Birula Te dwa znalazłem pierwsze na półce, oba mówią to, co ja. :) Dodam, że wiki też to mówi :P h) załóżmy, że jest ciałem. Wtedy ma co najmniej dwa elementy. To znaczy, że także P ma co najmniej dwa elementy, niech to będą 0,a. Wtedy (0,a) i (a,0) są właściwymi dzielnikami zera pierścienia $P\times P$, czyli pierścień ten nie może być ciałem. :) Gdybyśmy mieli $K\times P$, gdzie K jest ciałem, a $P=\{0\}^n$, to wtedy $K\times P \cong K$ jest ciałem. Jeśli natomiast mnożymy kartezjańsko pierścienie, które mają po dwa lub więcej elementów, to argument wyżej sprawia, że iloczyn nie może być ciałem. ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj