Algebra, zadanie nr 913

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
bububu postów: 3	2013-01-20 18:36:49 Obliczyć pierwiastki z liczb zespolonych a)$\sqrt{-i}$ b) $\sqrt[6]{-27}$ c) $\sqrt[3]{8i}$ d) $\sqrt[8]{1}$ e) $\sqrt[5]{3+7i}$ f)$\sqrt[4]{\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{i}{2}}$ proszę o wyjaśnienie tego Wiadomość była modyfikowana 2013-01-20 18:43:30 przez bububu

johny94 postów: 84	2013-01-20 18:42:08 c) $ \sqrt[8]{1}=1 lub -1$ Wiadomość była modyfikowana 2013-01-20 18:43:32 przez johny94

tumor postów: 8070	2013-01-20 19:54:53 Gdzie się da możemy zastosować taki wybieg, że jeden z pierwiastków wyliczymy, a resztę uzyskamy przez obroty. a) $z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$ drugi się różni o $180^\circ$ $z_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ b) $z_1=\sqrt[6]{27}(cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ Pozostałe są co $60^\circ$ Możemy je wyliczać znów z postaci trygonometrycznej albo mnożyć ciągle przez $(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)$ $z_2=\sqrt{3}i$ $z_3=\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$ $z_4=\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)$ $z_5=\sqrt{3}(-i)$ $z_6=\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)$ Wiadomość była modyfikowana 2013-01-20 19:57:13 przez tumor

tumor postów: 8070	2013-01-20 20:07:17 c) Jak to się wylicza? Patrzymy, gdzie na płaszczyźnie zespolonej jest $8i$. Liczba ta wyznacza kąt skierowany $90^\circ$ i ma długość $8$. Liczymy pierwiastek trzeciego stopnia, zatem długość będzie $2$, a kąt $30^\circ$. Liczba wygląda tak: $z_1=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$ Pierwiastki n-tego stopnia z danej liczby zespolonej mają tę samą długość i są rozmieszczone co kąt $\frac{360^\circ}{n}$ Skoro liczymy pierwiastki trzeciego stopnia, to liczby będą co $120^\circ$. Jeśli liczbę $z_1$ wyliczoną jak wyżej obrócimy wokół środka układu o kąt $120^\circ$ to dostaniemy $z_2=2(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$ Jeśli to jeszcze raz obrócimy o $120^\circ$ to dostaniemy $z_3=-2i$ d) Nieśmiałej próby, o którą się pokusił johny94, nie można traktować poważnie. Ale oczywiście prawdą jest, że jednym z pierwiastków jest $z_1=1$ Kolejne występują co $\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$ i mają tę samą długość równą $1$. Czyli $z_2=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ $z_3=i$ $z_4=\frac{-\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ $z_5=-1$ $z_6=\frac{-\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$ $z_7=-i$ $z_8=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj