Logika, zadanie nr 924

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
333bbb postów: 6	2013-01-21 19:21:50 Będę dziękować gdy mi ktoś napisze jak to się robi, przynajmniej w 3 przypadkach 1) Określając odpowiednią bijekcję, wykazać, że zbiory A i B są równoliczne: a) A=N, B=N$\cup${-1} b) A=$R^{+}$, B=R c) A=R, B=$R^{-}$ d) A=$R^{+}$$\cup${0}, B=<1,$\infty$) e) A=N, B={a$\in$Z : $\exists_{k\in Z}$ a=2k} f) A=R, B=(-a,a), a$\in$$R^{+}$ g) A=<0,1>, B=(0,1) h) A={<x,y>$\in$$R^{2}$: $\frac{-\pi}{2}$<x<$\frac{\pi}{2}$$\wedge$$\frac{-\pi}{2}$<y<$\frac{\pi}{2}$}, B=$R^{2}$ i) A={<x,y>$\in$$R^{2}$: a<b$\wedge$c<y<d}, B={<x,y>$\in$$R^{2}$: $\frac{-\pi}{2}$<x<$\frac{\pi}{2}$$\wedge$$\frac{-\pi}{2}$<y<$\frac{\pi}{2}$}

tumor postów: 8070	2013-01-21 20:39:42 Przecież w poleceniu jest napisane, JAK zrobić. :) to właśnie metoda: określić bijekcję. :) Nie każdy człowiek intuicyjnie czuje, że liczb parzystych jest raczej TYLE SAMO ile naturalnych niż raczej mniej. :) Kierowanie się intuicją niezbyt współgrało ze ścisłością matematyki, stąd stworzenie (przez Cantora) ściślejszego ujęcia różnych nieskończoności i sposobów porównywania nieskończoności. ;) Pierwszy krok to właśnie równoliczność. O zbiorach A,B mówimy, że są równoliczne, gdy istnieje bijekcja $f:A\to B$. Bijekcja jest przyporządkowaniem wzajemnie jednoznacznym, każdemu elementowi jednego zbioru odpowiada dokładnie jeden element drugiego zbioru, co pozwala na dalsze ścisłe rozumowania. :) a) $f(n)=n-1$ b) $f(x)=ln x$ c) $f(x)=-e^x$ d) $f(x)=x+1$ e) $f(n)=\left\{\begin{matrix} n \mbox{ dla }n=2k \\ -2n \mbox{ dla }n=2k+1 \end{matrix}\right.$ f) $f(x)=tg(\frac{\pi}{2a}x)$ h) $f(x,y)=(tgx,tgy)$ Można było zrobić na wiele innych sposobów, oczywiście. w i) będzie podobnie jak w f),h), tylko trzeba najpierw przesunąć trochę i wyrównać. ;) w g) jakiś taki ładny ciągły przykład się raczej nie uda, ale funkcję da się skonstruować jak w dowodzie tw. Cantora-Bernsteina. Można też zrobić taki myk, wybrać z $[0,1]$ dwa rozłączne ciągi, jeden zaczynający się od 0, drugi zaczynający się od 1. Wtedy funkcja f niech wyraz n-ty ciągu przeprowadza na n+1-szy, a dla pozostałych liczb niech jest identycznością. :) Polecam przeczytanie tego akapitu ze 2-3 razy i zrozumienie go. :) Żeby być uczciwym, to trzeba teraz dla wymienionych funkcji pokazać, że są bijekcjami. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj