Analiza matematyczna, zadanie nr 959

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ania16177 postów: 49	2013-01-27 13:43:46 jakie są głowne kroki dowodu, że: $\lim_{x \to 0} a^x$ $\forall_{0<a<\infty}$

tumor postów: 8070	2013-01-27 14:20:27 1. Zrozumieć, że nie ma czego dowodzić, bo się niczego nie napisało. ;) 2. Napisać poprawnie, na przykład: $\forall_{0<a<\infty}\lim_{x \to 0}a^x=1$ 3. Potem na przykład tak: a) $\sqrt[n]{n}=1+b_n$ $n=(1+b_n)^n=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}b_n^i>{n \choose 2}b_n^2=\frac{n(n-1)}{2}b_n^2$ Stąd $b_n^2<\frac{2}{n-1}$ $b_n<\sqrt{\frac{2}{n-1}}\rightarrow 0$ Stąd $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=1$ b) dla $a=1$ mamy oczywiście $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a}=1$ c) dla $1<a<\infty$ zauważamy, że dla $n>a$ mamy $1\le \sqrt[n]{a}\le \sqrt[n]{n}$ i korzystamy z twierdzenia o 3 ciągach, dostajemy tezę identyczną jak w b) d) dla $0<a<1$ zauważamy, że $\sqrt[n]{\frac{1}{a}} $ ma granicę 1 na podstawie c), a granica $\sqrt[n]{\frac{1}{a}a}$ równa jest 1 na podstawie b), zatem granica $\sqrt[n]{a}$ musi istnieć i być równa 1 (gdyby nie istniała albo była inna dostajemy od razu sprzeczność). e) ja robiłem granice dla $n\to \infty$, ale korzystamy z monotoniczności funkcji $a^x$ i dostajemy szukaną tezę. 4. Cieszymy się, żeśmy machnęli przy okazji coś mocniejszego niż wymagana granica. ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj