logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - zadania różne » zadanie

Inne, zadanie nr 102

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ula1905
postów: 4
2012-11-13 19:41:53

W poniższych zadaniach proszę, wstawić w miejsce
p - 10
q – 3


Zadanie 1.
Odcinki AB i CD przecinają, sie, w punkcie O. Wiadomo, ze
AO = p; CO = q; AB = p + q + 1; CD = p + 2q - 1:
Czy punkty A; B; C; D leża, na jednym okręgu ?


Zadanie 2.
W trójkącie ABC obrano punkt D na boku AB. Wiadomo, ze :
AC = p + q; CB = 2q + p; AD = 2p; BD = q:
Czy kąty ACD i BCD są, równe ?


Zadanie 3.
W trójkącie ABC obrano punkt L na boku AC tak, _ze AL = p+2; LC = q
oraz obrano punkt K na boku BC tak, ze CK = p + 3; KB = q + 1 .
Wiedząc, _ze AB = p+q+3 oraz, _ze punkt M leży na przedłużeniu boku AB
i punkty K; L; M są, współliniowe, oblicz BM.


Zadanie 4.
W czworokącie wypukłym ABCD mamy :
AB = 15; BC = 10; CD = 12; DA = 10 CA = 20 BD = 14
Czy na czworokącie tym można opisać okrąg ?


Zadanie 5.
W trójkącie ABC obrano punkt L na boku AC tak, _ze AL = p; LC = 5 oraz
obrano punkt K na boku BC tak, _ze CK = 6; KB = p + 1, a na boku AB
punkt M taki, _ze BM = 8. Oblicz AM, wiedząc, _ze odcinki AK; BL; CM
przecinają, sie, w jednym punkcie.



ula1905
postów: 4
2012-11-13 19:44:43

* W poniższych zadaniach proszę, wstawić w miejsce
p - 10
q - 3


tumor
postów: 8070
2012-11-13 20:38:47

Zad.2.
$AC=13$
$CB=16$
$AD=20$
$BD=3$

Potraktujmy boki $AD$ i $BD$ jako podstawy trójkątów $ACD$ i $BCD$.
Trójkąty te mają identyczne wysokości, zatem ich pola są w takim stosunku, jak ich podstawy, czyli $20:3$.

Gdyby kąty $ACD$ i $BCD$ były równe, to moglibyśmy oznaczyć ich miarę przez $\alpha$.
Wtedy pola trójkątów wynosiłyby odpowiednio $\frac{1}{2}*13*CD*sin\alpha$ i $\frac{1}{2}*16*CD*sin\alpha$, byłyby zatem w stosunku $13:16$, co niemożliwe.


tumor
postów: 8070
2012-11-13 21:03:48

Zad.3.

$AL=12$
$LC=3$
$CK=13$
$KB=4$
$AB=16$

Czyli mamy trójkąt o bokach $16,17,15$.

Dorysujmy na boku $AB$ punkt $D$ taki, żeby $LD$ był równoległy do $CB$, czyli trójkąt $ADL$ jest podobny do $ABL$ w skali $k_1=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$

Stąd $DL=\frac{4}{5}*17=\frac{68}{5}$
$AD=\frac{4}{5}*16=\frac{64}{5}$
$DB=\frac{1}{5}*16=\frac{16}{5}$

oznaczmy długość $BM$ przez $x$.
wtedy
$\frac{4}{x}=\frac{DL}{DM}=\frac{\frac{68}{5}}{\frac{16}{5}+x}$

$\frac{4}{x}=\frac{\frac{68}{5}}{\frac{16}{5}+x}$

$\frac{64}{5}+4x=\frac{68}{5}x$
$64+20x=68x$
$64=48x$
$x=\frac{4}{3}$


tumor
postów: 8070
2012-11-13 21:15:31

Zad.4.

$AB=15$
$BC=10$
$CD=12$
$DA=10$
$CA=20$
$BD=14$

Zauważmy, że $20^2>15^2+10^2$ oraz $20^2>12^2+10^2$, to oznacza, że kąty czworokąta przy wierzchołkach $D$ i $B$ są rozwarte. To wyklucza możliwość, by opisać na tym czworokącie okrąg.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj