Konkursy, zadanie nr 122

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
Szymon postów: 657	2013-03-20 22:28:21 4. Punkty K i L dzielą przekątną AC prostokąta ABCD na trzy równe odcinki. Odcinki BK i DL są prostopadłe do przekątnej AC. Oblicz stosunek boków tego prostokąta. 5. W okrąg o średnicy KL wpisano prostokąt ABCD, którego osią symetrii jest prosta KL. Wiedząc, że odcinek AK ma długość 6dm, a odcinek BK - długość 8 dm, oblicz : a) długość promienia rozważanego okręgu ; b) obwód prostokąta ABCD 6. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 6dm, ramiona AC i BC mają długości po 5dm. W trójkącie tym okrąg o średnicy CD, gdzie D jest środkiem podstawy AB przecina ramiona tego trójkąta w punktach E i F. Oblicz pole czworokąta CEDF. KONKURS MATEMATYCZNY W GIMNAZJUM 2013 Zadania 4-6 na zawody wojewódzkie w województwie opolskim

tumor postów: 8070	2013-03-21 09:20:02 Konkurs, to znaczy, że jeszcze trwa i oszukujemy, czy już nie trwa i możemy rozwiązywać?

Szymon postów: 657	2013-03-21 16:34:04 Konkurs odbył się 20 marca 2013 r. w Opolu. Trwał 2,5h. Można go rozwiązywać. Wiadomość była modyfikowana 2013-03-21 16:34:32 przez Szymon

tumor postów: 8070	2013-03-21 20:46:45 4. Dość oczywiste jest, że mamy trójkąty podobne ABC, AKB, BKC Oznaczyłem sobie $BC = a$ $AB = ma$ (gdzie $m$ jest szukaną niewiadomą) $CK= na$ $BK= mna$ (z podobieństwa) $AK=2na$ Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla tych trzech trójkątów. Wszystkie niewiadome są w kwadratach, dla czytelności piszę $n^2=N$, $m^2=M$, no i skracam przez $a^2$. Dostajemy $1+M=9N$ $4N+NM=M$ $N+NM=1$ Odejmujemy od drugiego trzecie $3N=M-1$ czyli $9N=3M-3$ $9N=M+1$ Stąd $2M=4$ $M=2$ $m=\sqrt{2}$

tumor postów: 8070	2013-03-21 20:58:37 5. Rysujemy. (Można się zastanowić, co w przypadku kwadratu, który ma więcej możliwych osi symetrii, ale zastanowienie mówi, że chodzi tak czy inaczej o oś symetrii będącą symetralną AD) KB=AL oraz trójkąt KAL jest prostokątny. Z Twierdzenia Pitagorasa KL = 10, z pola trójkąta liczymy, że wysokość tego trójkąta to 4,8. Potem rozpatrujemy trapez równoramienny KLBA, znamy wysokość, znamy ramiona, znamy dłuższą podstawę, z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy podstawę krótszą. To powinno być oczywiste, proszę pytać tylko, gdyby nie było. :)

tumor postów: 8070	2013-03-21 21:05:14 6. Rysujemy. Połowa podstawy ma długość 3. Czyli CD ma długość 4 (z tw. Pitagorasa) Trójkąty ADC i DFC są podobne (kryterium dwóch kątów). Ze skali podobieństwa (wyliczamy ją dzięki znanym przeciwprostokątnym) otrzymujemy długości wszystkich odcinków trójkąta DFC, co wystarcza do obliczenia jego pola i pola szukanego czworokąta.

irena postów: 2636	2013-03-21 21:08:51 5. \|AK\|=\|BL\|=6cm \|BK\|=8cm Trójkąt KBL jest prostokątny $\|KL\|^2=6^2+8^2=36+64=100$ \|KL\|=10cm r=5cm T- punkt wspólny BC i KL BT to wysokość w trójkącie KBL Z pola trójkąta $\frac{8\cdot6}{2}=\frac{10\cdot\frac{1}{2}\|BC\|}{2}$ 48=5\|BC\| \|BC\|=9,6cm $\|AB\|^2=10^2-9,6^2=100-92,16=7,84$ $\|AB\|=2,8cm$ $Ob=(9,6+2,8)\cdot2=24,8cm$

Szymon postów: 657	2013-03-21 21:24:51 Dobrze, dziękuję za zainteresowanie zadaniami, ale zamieściłem je tu dlatego, że chcę sprawdzić czy dobrze wszystkie rozwiązałem. Proszę rozwiązujących o napisanie końcowego wyniku który jest szukany. Z góry dziękuję :)))

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj