Konkursy, zadanie nr 13
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| struktor postów: 9 |  2011-04-13 13:06:40Na bocznej powierzchni walca o średnicy r , umieszczono (przy krawędzi podstawy) punkt A. Następnie umieszczono nóżkę cyrkla w tym punkcie i zakreslono (na bocznej powierzchni walca) krzywą, której kazdy punkt jest odległy od punktu A o wartość r . Następnie rozcięto boczną powierzchnię walca wzdłuż tworzącej, leżącej po przeciwległej stronie walca niż punkt A i rozwinięto boczną powierzchnię walca na płaszczyźnie. Czy otrzymana krzywa jest połówką sinusoidy ? Odpowiedź potwierdź odpowiednim rachunkiem. Dodam szkic, co powinno ułatwić rozwiązanie. http://www.narval.republika.pl/sinuscyrklem.jpg struktor Wiadomość była modyfikowana 2011-04-14 15:31:16 przez struktor |
| struktor postów: 9 | 2011-07-06 18:17:55 Podaję rozwiązanie. Pomocny będzie ten szkic: http://www.narval.republika.pl/sinuscyrklem.jpg Bierzemy walec i owijamy go dookola kartka papieru tak, by dwie krawedzie kartki byly rownolegle do osi walca i stykaly sie ze soba. Nastepnie ustawiamy rozwarcie cyrkla rowne srednicy walca i wbijamy nozke cyrkla w polowie wygietej krawedzi kartki (w punkcie A na szkicu). Zataczamy cyrklem raz po walcu, rysujac linie na kartce od krawedzi do krawedzi. Po rozwinieciu kartki otrzymamy polowke sinusoidy. Skad wziac walec? No coz, gdy nie mamy pod reka butelki jest okazja by skoczyc do sklepu. Gorzej z cyrklem, bo powinien byc duzy i miec dwie lamane nozki. Teraz skrotowe wyjasnienie teoretyczne. Rownanie okregu jest znane: r^2=x^2 + Y^2 {1} r- rozwarcie cyrkla ; R- promień walca Po rozwinieciu papieru wspolrzedna x (wzdluz osi walca) nie zmieni sie,zmieni sie (wydluzy) wspolrzedna Y , bo cieciwa = Y zostanie zastapiona opartym na niej lukiem = y . Zaleznosc miedzy cieciwa i opartym na niej lukiem o promieniu R: cieciwa=2*R*sin((luk/2)/R) {2} Podstawiamy 2 do 1 i otrzymujemy rownanie ogolne: r^2=x^2 + (2*R*sin(y/(2*R)))^2 {3} Nas jednak interesuje przypadek szczegolny, gdy po rozwinieciu bedzie sinus, dlatego podstawiamy r=2*R i otrzymujemy: 1=(x/r)^2 + ( sin(y/r))^2 {4} Poniewaz sin^2 + cos^2 =1 mamy: x/r = cos(y/r) {5} ymax to pol obwodu walca, czyli ymax=pi*R=pi*r/2 {6a} ymin to pol obwodu walca, czyli ymin=-pi*R=-pi*r/2 {6b} Czyli ostatecznie zakres zmiennej y/r ogranicza nierownosc: -pi/2 < y/r < pi/2 {7} struktor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj