logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - zadania różne » zadanie

Konkursy, zadanie nr 13

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

struktor
postów: 9
2011-04-13 13:06:40

Na bocznej powierzchni walca o średnicy r ,
umieszczono (przy krawędzi podstawy) punkt A.
Następnie umieszczono nóżkę cyrkla w tym punkcie
i zakreslono (na bocznej powierzchni walca) krzywą,
której kazdy punkt jest odległy od punktu A o wartość r .

Następnie rozcięto boczną powierzchnię walca wzdłuż tworzącej,
leżącej po przeciwległej stronie walca niż punkt A
i rozwinięto boczną powierzchnię walca na płaszczyźnie.

Czy otrzymana krzywa jest połówką sinusoidy ?
Odpowiedź potwierdź odpowiednim rachunkiem.

Dodam szkic, co powinno ułatwić rozwiązanie.
http://www.narval.republika.pl/sinuscyrklem.jpg

struktor

Wiadomość była modyfikowana 2011-04-14 15:31:16 przez struktor

struktor
postów: 9
2011-07-06 18:17:55

Podaję rozwiązanie.

Pomocny będzie ten szkic:
http://www.narval.republika.pl/sinuscyrklem.jpg

Bierzemy walec i owijamy go dookola kartka papieru tak,
by dwie krawedzie kartki byly rownolegle do osi walca
i stykaly sie ze soba.
Nastepnie ustawiamy rozwarcie cyrkla rowne srednicy walca
i wbijamy nozke cyrkla w polowie wygietej krawedzi kartki
(w punkcie A na szkicu).
Zataczamy cyrklem raz po walcu, rysujac linie na kartce
od krawedzi do krawedzi.
Po rozwinieciu kartki otrzymamy polowke sinusoidy.

Skad wziac walec?
No coz, gdy nie mamy pod reka butelki
jest okazja by skoczyc do sklepu.

Gorzej z cyrklem, bo powinien byc duzy i miec dwie lamane nozki.

Teraz skrotowe wyjasnienie teoretyczne.

Rownanie okregu jest znane:

r^2=x^2 + Y^2 {1}

r- rozwarcie cyrkla ; R- promień walca

Po rozwinieciu papieru wspolrzedna x (wzdluz osi walca)
nie zmieni sie,zmieni sie (wydluzy) wspolrzedna Y ,
bo cieciwa = Y zostanie zastapiona opartym na niej lukiem = y .

Zaleznosc miedzy cieciwa i opartym na niej lukiem o promieniu R:

cieciwa=2*R*sin((luk/2)/R) {2}

Podstawiamy 2 do 1 i otrzymujemy rownanie ogolne:

r^2=x^2 + (2*R*sin(y/(2*R)))^2 {3}

Nas jednak interesuje przypadek szczegolny, gdy po rozwinieciu
bedzie sinus, dlatego podstawiamy r=2*R i otrzymujemy:

1=(x/r)^2 + ( sin(y/r))^2 {4}

Poniewaz sin^2 + cos^2 =1 mamy:

x/r = cos(y/r) {5}

ymax to pol obwodu walca, czyli ymax=pi*R=pi*r/2 {6a}
ymin to pol obwodu walca, czyli ymin=-pi*R=-pi*r/2 {6b}

Czyli ostatecznie zakres zmiennej y/r ogranicza nierownosc:

-pi/2 < y/r < pi/2 {7}



struktor





strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj