logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - zadania różne » zadanie

Inne, zadanie nr 144

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

aididas
postów: 279
2013-11-16 21:25:37

Trójkąt ABC jest taki, że:
- BC=AC
- punkt D leży na AB w taki sposób, że BD=2AD
- kąt BCD = 90$^{\circ}$

Oblicz kąt BAC.

Jako rozwiązanie najlepiej podać kolejne wnioski, które prowadzą do uzyskania wartości kąta BAC.


aididas
postów: 279
2013-11-17 13:24:57

No chyba raczej to nie jest to, bo jakim prawem $\angle$BCE=$\angle$ECD=$\angle$DCA=$45^{\circ}$?

Rozwiązanie musi być inne, tylko jakie?


aididas
postów: 279
2013-11-17 15:15:13

Narysuj sobie dla przykładu trójkąt równoramienny o podstawie 18cm i wysokości 1,5 cm. Podstawę podziel na 9 równych odcinków, a następnie połącz końce odcinków z wierzchołkiem trójkąta. Sytuacja jest podobna do tej w zadaniu.
Według ciebie kąty powinny być równe, lecz jak gdy spojrzysz na rysunek, to przestaniesz w to wierzyć.


agus
postów: 2387
2013-11-17 16:36:08

Masz rację. Kasuję swoje rozwiązanie.





Wiadomość była modyfikowana 2013-11-17 16:41:25 przez agus

agus
postów: 2387
2013-11-17 17:00:13

BC=AC=a
AB=b
BD=$\frac{2}{3}$
$\angle BAC =\alpha $

cos$\alpha = \frac{a}{\frac{2}{3}b} $
(w trójkącie prostokątnym BCD)

cos$\alpha =\frac{\frac{1}{2}b}{a}$
(w trójkącie prostokątnym, który powstanie z podziału równoramiennego wysokością poprowadzoną z kąta C)

$\frac{a}{\frac{2}{3}b}=\frac{\frac{1}{2}b}{a}$

$a^{2}=\frac{1}{3}b^{2}$

a=$\frac{\sqrt{3}}{3}b$

cos$\alpha =\frac{a}{\frac{2}{3}b}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}b}{\frac{2}{3}b}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha=30^{0}$

Uff, teraz chyba dobrze...


aididas
postów: 279
2013-11-17 19:46:25

Faktycznie, to jest rozwiązanie.

A udało mi się jeszcze znaleźć rozwiązanie dla typowego gimnazjalisty:

punkt E - na boku AB, dzieli BD na pół
punkt F - na boku AB, miejsce opuszczenia wysokości z wierzchołka C, dzieli AB na pół i też DE na pół
punkt G - na boku BC, $\angle$EGB = 90$^{\circ}$

$\angle$ CAB = $\angle$ ABC = $\alpha$
$\angle$ BDC = $\beta$
$\angle$ DCF = 180$^{\circ}$ -90$^{\circ}$ - $\beta$ = $\alpha$
Z podobieństwa trójkątów CDF i CEF (bok-kąt-bok): $\angle$ ECF = $\alpha$
trójkąt BEG podobny z BCD, zatem:
$\frac{BE}{BG}$=$\frac{BD}{BC}$
BD = 2BE
$\frac{BE}{BG}$=$\frac{2BE}{BC}$
BC=$\frac{2BE \cdot BG}{BE}$
BC=2BG
A więc trójkąty BGE i CGE są podobne (bok-kąt-bok), czyli:
$\angle GBE$ = $\angle GCE$ = $\alpha$

No i z tego wszystkiego jest, że:
$\angle$ BCD = 90 = $\angle$ DCF + $\angle$ ECF + $\angle$ GCE = 3$\alpha$ = 90$^{\circ}$
$\alpha$ =30$^{\circ}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj