Konkursy, zadanie nr 17

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
lwgula postów: 25	2011-07-22 03:09:33 Niech (1) 3^{2}+4^{2}=5^{2} i (2) 5^{2}+12^{2}=13^{2}. Rozwiązaniem równania (1) jest trójka [3,4,5]. Jest to rozwiązanie właściwe, gdyż liczby 3,4,5 z rozwiązania [3,4,5] są parami względnie pierwsze, co zapisujemy: NWD(3,4,5)=1, czyli NWD(3,4)=1 i NWD(3,5)=1 i NWD(4,5)=1. Rozwiązaniem właściwym (2) jest [5,12,13]. Jeżeli obie strony (1) pomnożymy przez 5^{2}, a obie strony (2) pomnożymy przez 4^{2}, to będziemy mieli (3) 20^{2}=25^{2}-15^{2} oraz (4) 20^{2}=52^{2}-48^{2}. (3) i (4) otrzymamy także mnożąc odpowiednio liczby z [3,4,5] przez 5 i liczby z [5,12,13] przez 4. Nietrudno zauważyć, że [25,15] i [52,48] są rozwiązaniami równania 400=z^{2}-y^{2}, których to rozwiązań (jak widać) nie otrzymujemy od razu z równania Diofantosa. Równanie Pitagorasa X^{2}+Y^{2}=Z^{2} tak opisał Diofantos liczbami u,v ze zbioru {1,2,3,...}, że X=u^{2}-v^{2}, Y=2uv i Z=u^{2}+v^{2}, bo dla dowolnych u,v ze zbioru R: (5) [u^{2}-v^{2}]^{2}+[2uv]^{2}=[u^{2}+v^{2}]^{2}. Ponieważ rozpatrujemy boki X,Y,Z trójkąta prostokątnego o różnych przyprostokątnych, to większe od zera liczby X,Y,Z muszą być parami różne, co gwarantują dwa warunki: u,v należą do zbioru {1,2,3,...} oraz u>v. Jeżeli chcemy wyznaczać rozwiązania właście równania (5), to muszą być spełnione kolejne dwa warunki: NWD(u,v)=1 i liczba u-v jest nieparzysta (przy u parzystej v nieparzysta, a przy u nieparzystej v parzysta). Zad. Wyznacz rozwiązania całkowiete dodatnie równania: 400=z^{2}-y^{2}. Oto rozwiązanie pewnego specjalisty geometrii prof. dr. hab. : 400=20^{2}=(2uv)^{2}. 20=2uv czyli 10=uv. Zatem (u=10 i v=1) lub (u=5 i v=2). Stąd [z=u^{2}+v^{2}=10^{2}+1^{2}=101 i y=u^{2}-v^{2}=10^{2}-1^{2}=99] lub [z=u^{2}+v^{2}=5^{2}+2^{2}=29 i y=u^{2}-v^{2}=5^{2}-2^{2}=21]. A gdzie rozwiązania [52,48] i [25,15]? "NO CÓŻ, PROFESOR TEŻ WSZYSTKIEGO NIE WIE" - tak odpowiedział. Te brakujące rozwiązania daje równanie Diofantosa, ale trudność w tym, że trzeba dodatkowo wyznaczać rozwiązania właściwe równań, których od razu nie znamy, tak jak tu (1) i (2). Dzisiaj zdumiewa mnie fakt, że pan profesor nie skorzystał z metody pokazanej przez Stefana Banacha: 400=2200=4100=850=1040. Zatem: (z-y=2 i z+y=200) lub (z-y=4 i z+y=100) lub (z-y=8 i z+y=50) lub (z-y=10 i z+y=40). Dlatego (z-y=2 i z+y=200) daje (2z=202 i 2y=198) daje z=101 i y=99. (z-y=4 i z+y=100) daje (2z=104 i 2y=98) daje z=52 i y=48. (z-y=8 i z+y=50) daje (2z=58 i 2y=42) daje z=29 i y=21. (z-y=10 i z+y=40) daje (2z=50 i 2y=30) daje z=25 i y=15. Odp. [101,99], [52,48], [29,21] lub [25,15]. Moje rozwiązanie. Wyznaczamy parzyste podzielniki naturalne danej liczby 400, takie, że ilorazy są parzyste oraz podzielniki liczby 400 są mniesze od pierwiatka stopnia drugiego z 400 czyli mniejsze od 20. Oto nasze podzielniki: 2,4,8,10. Dlatego z=(400/2+2)/2 i y=z-2=101-2=99, z=(400/4+4)/2 i y=z-4=52-4=48, z=(400/8+8)/2 i y=z-8=29-8=21, z=(400/10+10)/2 i y=z-10=25-10=15. Odp. [101,99], [52,48], [29,21] lub [25,15]. http://syminostra.pl.tl/ Leszek W. Guła

struktor postów: 9	2011-07-22 19:22:05 Szukamy rozwiązań równania Diofantosa w liczbach całkowitych. a^2-b^2=400 Lewą stronę rozkładam na iloczyn: (a-b)(a+b)=400 Podstawiam: m=a-b m(m+2b)=400 Przekształcam celem wyliczenia b : b=200/m -m/2 Rozkładam na czynniki pierwsze: (1) b=22255/m -m/2 Widać, że m musi się dzielić przez 2 . Ponadto m musi skracać się bez reszty z wyrazem: 2225*5 Podaję tabelę wyników: b obliczone jest z równania (1) ; m ; b ; a=m+b 2 ; 99 ; 101 4 ; 48 ; 52 8 ; 21 ; 29 10 ; 15 ; 25 20 ; 0 ; 20 40 ; -15; 25 50 ; -21; 29 100 ; -48; 52 200 ; -99; 101 m ; b ; a=m+b -2 ; -99; -101 -4 ; -48; -52 -8 ; -21; -29 -10 ; -15; -25 -20 ; 0 ; -20 -40 ; 15 ; -25 -50 ; 21 ; -29 -100; 48 ; -52 -200; 99 ; -101 Pozdrawiam WM Wiadomość była modyfikowana 2011-07-22 19:38:56 przez struktor

lwgula postów: 25	2011-07-22 21:13:44 W pracy http://lwgula.pl.tl/ kluczowe są formy kwadratowe a^{2}=[(g/k + k)/2]^{2} i b^{2}=[(g/k + k)/2]^{2}. Tu również otrzymujemy wszystkie pary [a,b], gdzie a,b są całkowite niezerowe. Jeżeli nieparzysta X jest liczbą pierwszą, to zdanie odd g=X^{4}=Z^{2}-[(Y^{2}]^{2} jest fałszywe, gdyż mamy sprzeczność: X dzieli Z i X dzieli Y, przy gcd(X,Y,Z)=1. Tak więc "kluczowe są" - tylko w sensie wizualnym (odczytowym), poszukiwawczym. Stąd wiemy, że X musi być liczbą nieparzystą złożoną. Dowód Hilberta jest obalony. Podałem przepiękny dowód tego twierdzenia.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj