logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - zadania różne » zadanie

Konkursy, zadanie nr 235

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

panrafal
postów: 174
2016-04-13 16:38:26

Prosiłbym o pomoc w tym zadaniu z ostatniej alfy, bo nie daje mi spokoju:

Ile istnieje liczb niewymiernych x, dla których $x^2-2x$ oraz $x^3-6x$ są liczbami wymiernymi?

Piszę tutaj, bo do tematu o konkursach pewnie nikt już nie zagląda o tej porze roku. Ja widzę jakie liczby będą spełniać założenia, ale nie umiem wykazać, że tylko takie.

Wiadomość była modyfikowana 2016-04-13 16:39:17 przez panrafal

tumor
postów: 8070
2016-04-14 10:37:26

Niech $x^2-2x=a\in Q$, wtedy
(przy założeniach $a\ge -1$, żeby $\Delta\ge 0$)
mamy $x=1\pm \sqrt{1+a} \notin Q$

Wobec tego $\sqrt{1+a}\notin Q$

Następnie $x^3-6x\in Q$
a) $x=1+\sqrt{1+a}$
$4+3a+(4+a)\sqrt{1+a}-6(1+\sqrt{1+a})\in Q$
czyli
$(a-2)\sqrt{1+a} \in Q$, wobec czego musi być $a-2=0$, czyli $a=2$

b) $x=1-\sqrt{1+a}$
$4+3a-(4+a)\sqrt{1+a}-6(1-\sqrt{1+a})\in Q$
czyli
$(a-2)\sqrt{1+a} \in Q$, wobec czego musi być $a-2=0$, czyli $a=2$

Stąd $x=1\pm \sqrt{1+2}$




panrafal
postów: 174
2016-04-15 12:48:56

Dzięki ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj