Konkursy, zadanie nr 235
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
panrafal postów: 174 | 2016-04-13 16:38:26 Prosiłbym o pomoc w tym zadaniu z ostatniej alfy, bo nie daje mi spokoju: Ile istnieje liczb niewymiernych x, dla których $x^2-2x$ oraz $x^3-6x$ są liczbami wymiernymi? Piszę tutaj, bo do tematu o konkursach pewnie nikt już nie zagląda o tej porze roku. Ja widzę jakie liczby będą spełniać założenia, ale nie umiem wykazać, że tylko takie. Wiadomość była modyfikowana 2016-04-13 16:39:17 przez panrafal |
tumor postów: 8070 | 2016-04-14 10:37:26 Niech $x^2-2x=a\in Q$, wtedy (przy założeniach $a\ge -1$, żeby $\Delta\ge 0$) mamy $x=1\pm \sqrt{1+a} \notin Q$ Wobec tego $\sqrt{1+a}\notin Q$ Następnie $x^3-6x\in Q$ a) $x=1+\sqrt{1+a}$ $4+3a+(4+a)\sqrt{1+a}-6(1+\sqrt{1+a})\in Q$ czyli $(a-2)\sqrt{1+a} \in Q$, wobec czego musi być $a-2=0$, czyli $a=2$ b) $x=1-\sqrt{1+a}$ $4+3a-(4+a)\sqrt{1+a}-6(1-\sqrt{1+a})\in Q$ czyli $(a-2)\sqrt{1+a} \in Q$, wobec czego musi być $a-2=0$, czyli $a=2$ Stąd $x=1\pm \sqrt{1+2}$ |
panrafal postów: 174 | 2016-04-15 12:48:56 Dzięki ;) |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj