Funkcja monotoniczna
Mówimy, że funkcja f jest monotoniczna w przedziale, jeśli posiada w nim
jedną z czterech własności:
- jest rosnąca,
- jest malejąca,
- jest nierosnąca,
- jest niemalejąca.
Funkcja rosnąca
Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych argumentów x1, x2 ∈ X prawdziwa jest implikacja x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Funkcja malejąca
Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych argumentów x1, x2 ∈ X prawdziwa jest implikacja x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
Funkcja nierosnąca
Funkcję f nazywamy nierosnącą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych argumentów x1, x2 ∈ X prawdziwa jest implikacja x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)
Funkcja niemalejąca
Funkcję f nazywamy niemalejącą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych argumentów x1, x2 ∈ X prawdziwa jest implikacja x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)
Funkcja stała
Funkcję f nazywamy stałą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych argumentów x1, x2 ∈ X zachodzi równość f(x1) = f(x2).
Funkcje rosnące i malejące są różnowartościowe (różnym argumentom odpowiadają różne wartości funkcji). O obu tych funkcjach mówimy, że są ściśle monotoniczne, funkcje zaś nierosnące i niemalejące nazywamy monotonicznymi w szerszym sensie.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale
A ⊂ Df ma pochodną dodatnią (ujemną)
w całym przedziale A, to jest w tym przedziale rosnąca (malejąca).
Wniosek
Jeżeli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale
(a, b) ⊂ Df jest w tym przedziale
rosnąca (malejąca), to jej pochodna f '(x)
przyjmuje wartość nieujemną (niedodatnią),
dla każdego x ∈ (a, b).
Określanie monotoniczności
Aby określić monotoniczność funkcji:
1. Badamy znak różnicy
f(x1) - f(x2), przy założeniu,
że x1 - x2 > 0, gdzie
x1, x2 ∈ A i
A⊂Df,
2. Korzystamy z różniczkowego kryterium badania monotoniczności
funkcji w zbiorze A (tzw. wnioski z twierdzenia Lagrange'a):
- jeśli f '(x) = 0
dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f
jest stała w przedziale (a, b).
- jeśli f '(x) > 0
dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f
jest rosnąca w przedziale (a, b).
- jeśli f '(x) < 0
dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f
jest malejąca w przedziale (a, b).