Funkcja odwrotna
Funkcję g: Y → X nazywamy
funkcją odwrotną do funkcji f: X → Y,
jeżeli
Y = f(X),
X = g(Y) i dla każdego x ∈ X zachodzi
równość: g(f(x)) = x.
Funkcję odwrotną do f oznaczamy przez f -1.
Niech f: X → Y będzie funkcją różnowartościową
odwzorowującą zbiór X na zbiór Y.
f -1(y) = x ⇔ y =
f(x), gdzie y ∈ Y, x ∈ X.
Jeżeli funkcja g: Y → X jest funkcją odwrotną
do funkcji f: X → Y, to spełnione są następujące
warunki:
- f przekształca X na Y i g przekształca Y na
X,
- (g(y) = x) ⇔ (f(x) = y)
dla każdego x∈X i y∈Y,
- funkcje f i g są różnowartościowe.
Z definicji funkcji odwrotnej można wyciągnąć taki oto wniosek.
Jeżeli funkcja g jest funkcją odwrotną do funkcji f, to
funkcja f jest funkcją odwrotną do funkcji g.
Zachodzi więc następująca równość:
(f -1)-1 = f.
Dla każdej funkcji różnowartościowej f: X → Y przekształcającej X na Y istnieje dokładnie jedna funkcja odwrotna.
Funkcja odwracalna
Jeżeli funkcja f ma funkcję odwrotną f -1, to funkcję f nazywamy funkcją odwracalną.
Wniosek: Jeżeli obrazem wykresu funkcji f: X → Y w symetrii względem prostej y = x jest wykres funkcji przekształcającej pewien podzbiór X w Y, to funkcja f jest odwracalna. Geometryczne będzie to oznaczać, że układ współrzędnych na płaszczyźnie odbity został względem prostej y = x.