logowanie

Granica ciągu

Przedział (x₀ - ε, x₀ + ε) nazywamy otoczeniem o promieniu ε > 0 punktu x₀ i oznaczamy symbolem U(x₀, ε).

Sumę przedziałów (x₀ - ε, x₀) ∪ (x₀, x₀ + ε) nazywamy sąsiedztwem o promieniu ε > 0 punktu x₀ i oznaczamy symbolem S(x₀, ε).

Ciąg (a_n) jest zbieżny do g (ma granicę g), jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba k ∈ N⁺, że dla każdego n > k jest spełniona nierówność |a_n - g| < ε.

Inaczej mówiąc liczba g jest granicą ciągu (a_n) wtedy, gdy prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do otoczenia U(g, ε).
Zdanie "Liczba g jest granicą ciągu (a_n)" zapisujemy
              ${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=g}$    lub    ${\displaystyle a_n\stackrel{n\to \infty }{\mathrm{\to }}g}$.

Powyższa definicja w zapisie logicznym ma postać:
                ${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=g\iff \underset{\epsilon >0}{\forall }\underset{k\in N^{+}}{\exists }\underset{n>k}{\forall }}|a_n-g|<\epsilon$

Granica niewłaściwa ciągu
Oprócz ciągów zbieżnych istnieją ciągi, które nie mają granicy. Takie ciągi nazywamy rozbieżnymi. Wśród ciągów rozbieżnych na szczególną uwagę zasługują ciąg rozbieżne do -∞ lub +∞.

Ciąg (a_n) jest rozbieżny do +∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M, co zapisujemy ${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty }$
                ${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty \iff \underset{M\in R}{\forall }\underset{k\in N^{+}}{\exists }\underset{n>k}{\forall }}{a}_n>M$

Ciąg (a_n) jest rozbieżny do -∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M, co zapisujemy ${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=-\infty }$
                ${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=-\infty \iff \underset{M\in R}{\forall }\underset{k\in N^{+}}{\exists }\underset{n>k}{\forall }}{a}_n<M$

Twierdzenia z teorii granic ciągów
Działania na granicach ciągów

© 2024 math.edu.pl      kontakt