logowanie

Granica funkcji w nieskończoności

Niech funkcja f  będzie określona w przedziale (-∞, a).

Definicja Heinego
Funkcja f ma w -∞ granicę g, co zapisujemy ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{-\infty }}{\lim }f\left(x\right)=g}$, jeżeli dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach x_n∈(-∞, a), rozbieżnego do -∞, ciąg (f(x_n)) wartości funkcji jest zbieżny do g,

Funkcja f ma w -∞ granicę niewłaściwą -∞ (+∞), co zapisujemy ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{-\infty }}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{-\infty }}$, ${\displaystyle (\underset{x\to \mathrm{-\infty }}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{+\infty })}$, jeżeli dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach x_n∈(-∞, a), rozbieżnego do -∞, ciąg (f(x_n)) wartości funkcji jest rozbieżny do -∞ (+∞).

Definicja Cauchy'ego
${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{-\infty }}{\lim }f\left(x\right)=g\iff \underset{\epsilon >0}{\forall }\underset{\delta }{\exists }\underset{x}{\forall }(x<\delta \Rightarrow |f\left(x\right)-g|<\epsilon )}$, ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{-\infty }}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{-\infty }\iff \underset{M}{\forall }\underset{\delta }{\exists }\underset{x}{\forall }(x<\delta \Rightarrow f(x)<M)}$,
${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{-\infty }}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{+\infty }\iff \underset{M}{\forall }\underset{\delta }{\exists }\underset{x}{\forall }(x<\delta \Rightarrow f(x)>M)}$.

Podobnie określamy granicę ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{+\infty }}{\lim }f\left(x\right)=g}$ i granice niewłaściwe ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{+\infty }}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{-\infty }}$, ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{+\infty }}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{+\infty }}$.

© 2024 math.edu.pl      kontakt