logowanie

Granica funkcji w punkcie

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwem S punktu x₀.

Definicja Heinego
Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x₀, jeżeli dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach x_n ∈ S, zbieżnego do x₀, ciąg (f(x_n)) wartości funkcji jest zbieżny do g.

Zdanie: "liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x₀" zapisujemy
${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=g}$    lub    ${\displaystyle f\left(x\right)\stackrel{x\to x_0}{\mathrm{\to }}g}$.

Definicja Cauchy'ego
Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x₀, jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla każdego x spełniającego nierówność
                  0 < |x - x₀| < δ
jest spełniona nierówność
                  |f(x) - g| < ε.

Definicje tę można zapisać symbolicznie
${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=g\iff \underset{\epsilon >0}{\forall }\underset{\delta >0}{\exists }\underset{x}{\forall }(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f\left(x\right)-g|<\epsilon )}$.

Definicję Cauchy'ego należy rozumieć następująco: liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla każdego x należącego do sumy przedziałów (x₀ - δ, x₀) ∪ (x₀, x₀ + δ), wartość funkcji f(x) należy do przedziału (g - ε, g + ε).

Dwie definicje są równoważne. Jeżeli liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x₀ w sensie definicji Heinego, to jest również granicą tej funkcji w sensie definicji Cauchy'ego w punkcie x₀ oraz odwrotnie.

© 2024 math.edu.pl      kontakt