Kres zbioru liczbowego
Zbiory ograniczone i nieograniczone
Niepusty podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym z dołu, jeśli
istnieje taka liczba m ∈ R, że dla każdej liczby x ∈ A spełniona
jest nierówność:
m ≤ x
tzn. jeżeli istnieje liczba m, która jest nie większa od każdej liczby zbioru liczbowego A, to
mówimy, że zbiór A jest ograniczony z dołu.
Niepusty podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych nazywamy
ograniczonym z góry, jeśli istnieje taka liczba M ∈ R,
że dla każdej liczby x ∈ A spełniona jest nierówność:
x ≤ M
tzn. jeżeli istnieje liczba M, która jest nie mniejsza od każdej liczby zbioru liczbowego A, to
mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry.
Niepusty podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym, jeśli istnieją
takie liczby m, M ∈ R, że dla każdej liczby
x ∈ A spełniona jest nierówność:
m ≤ x ≤ M.
Kres górny
Kresem górnym zbioru liczbowego X ograniczonego z góry nazywamy największą liczbę tego zbioru lub, jeśli takiej nie ma, najmniejszą z liczb ograniczających zbiór X z góry.
Kres górny zbioru liczbowego X oznaczamy sup X
(czytamy supremum X). Tak więc
Liczba M jest kresem górnym wtedy i tylko wtedy, gdy ogranicza zbiór z
góry lub nie ma liczby mniejszej o tej własności.
Kres dolny
Kresem dolnym zbioru liczbowego X ograniczonego z dołu nazywamy najmniejszą liczbę tego zbioru lub, jeśli takiej nie ma, największą z liczb ograniczających zbiór X z dołu.
Kres dolny zbioru liczbowego X oznaczamy inf X
(czytamy infimum X). Tak więc
Liczba m jest kresem dolnym wtedy i tylko wtedy, gdy ogranicza zbiór z
dołu lub nie ma liczby większej o tej własności.