logowanie


matematyka » arytmetyka » zbiory » kres zbioru

Kres zbioru liczbowego

Zbiory ograniczone i nieograniczone

Niepusty podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym z dołu, jeśli istnieje taka liczba mR, że dla każdej liczby xA spełniona jest nierówność:
mx
tzn. jeżeli istnieje liczba m, która jest nie większa od każdej liczby zbioru liczbowego A, to mówimy, że zbiór A jest ograniczony z dołu.


Niepusty podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje taka liczba MR, że dla każdej liczby xA spełniona jest nierówność:
xM
tzn. jeżeli istnieje liczba M, która jest nie mniejsza od każdej liczby zbioru liczbowego A, to mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry.


Niepusty podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym, jeśli istnieją takie liczby m, MR, że dla każdej liczby xA spełniona jest nierówność:
mxM.


Kres górny

Kresem górnym zbioru liczbowego X ograniczonego z góry nazywamy największą liczbę tego zbioru lub, jeśli takiej nie ma, najmniejszą z liczb ograniczających zbiór X z góry.

Kres górny zbioru liczbowego X oznaczamy sup X (czytamy supremum X). Tak więc
sup X = M x X x M       a < M x0 X x0 > a
Liczba M jest kresem górnym wtedy i tylko wtedy, gdy ogranicza zbiór z góry lub nie ma liczby mniejszej o tej własności.


Kres dolny

Kresem dolnym zbioru liczbowego X ograniczonego z dołu nazywamy najmniejszą liczbę tego zbioru lub, jeśli takiej nie ma, największą z liczb ograniczających zbiór X z dołu.

Kres dolny zbioru liczbowego X oznaczamy inf X (czytamy infimum X). Tak więc
inf X = m x X m x       b > m x0 X x0 < b
Liczba m jest kresem dolnym wtedy i tylko wtedy, gdy ogranicza zbiór z dołu lub nie ma liczby większej o tej własności.





© 2020 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt