Kwaterniony

Liczby zespolone są to pary liczb rzeczywistych, dzięki którym możemy dowiedzieć się o geometrii płaszczyzny. Słynny irlandzki matematyk William Rowan Hamilton (1805-1865) spędził sporo czasu na próbach zbudowania analogicznego systemu dla trójek liczb rzeczywistych, za pomocą którego chciał badać geometrię przestrzenną. Hamilton doszedł jednak do wniosku, że zamiast trzech współrzędnych należy wziąć cztery i zbudował nowy system liczb - liczby hiperzespolone, które nazwał kwaternionami.

Te nowe liczby będące generalizacją liczb zespolonych, są definiowane przez cztery liczby rzeczywiste. Jedna z osi tego układu przedstawia liczby rzeczywiste, a trzy pozostałe - liczby urojone.

Kwaternion to liczba postaci: q = a + bi + cj + dk, gdzie a to część skalarna, natomiast jego część urojona jest trójwymiarowym wektorem v = bi + cj + dk.

Kwaterniony dodaje się w sposób oczywisty, ale do mnożenia należy stosować reguły Hamiltona:
i² = j² = k² = -1
ij = k, jk = i, ki = j
ji = -k, kj = -i, ik = -j,
przy czym należy pamiętać, że mnożenie kwaternionów Hamiltona nie jest przemienne. Spełniają jednak one prawa łącznści i rozdzielności

Odpowiednią miarą wielkości typowego kwaternionu a + bi + cj + dk jest jego miara a² + b² + c² + d².