Liczby całkowite
Próżno szukać wśród liczb naturalnych takiej, która jest wynikiem odejmowania liczby większej od mniejszej. Można oczywiście uznać, że takie działanie nie ma sensu. Taka była mniej więcej postawa uczonych w starożytnej Grecji. Dziś liczby ujemne już nie gorszą. Są na skali termometrów i w bilansach księgowych. Wraz z liczbami naturalnymi tworzą zbiór liczb całkowitych rozciągający się od minus do plus nieskończoności. Zbiór liczb całkowitych można więc zdefiniować, jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszystkie wyniki operacji odejmowania liczb naturalnych od zera.
Zbiór liczb całkowitych jest najmniejszym podzbiorem zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, spełniający następujące warunki:
$0 \in Z$
Jeśli $c \in Z$, to $c + 1 \in Z$ i $c - 1 \in Z$
$$Z = \{\ldots, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}$$
Liczbami całkowitymi nazywamy więc wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do naturalnych. Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy literą $Z$ lub $C$.
Liczby przeciwne
Wraz z pojęciem liczby całkowitej możemy zdefiniować liczbę przeciwną. Liczbą przeciwną do liczby $a$ jest liczba $-a$.
Liczbą przeciwną do liczby dodatniej jest liczba ujemna, a liczbą przeciwną do liczby ujemnej jest liczba dodatnia.
Liczbą przeciwną do zera jest zero.
Porównywanie liczb całkowitych
Porównując liczby całkowite należy pamiętać, że:
- liczba dodatnia jest zawsze większa od liczby ujemnej,
- z dwóch liczb ujemnych większa jest ta, która leży bliżej zera na osi liczbowej,
- liczba zero jest większa od każdej liczby ujemnej.
W starożytności, ani rachmistrze babilońscy czy egipscy, ani greccy myśliciele oraz arabowie nie mieli ogólnej idei liczb ujemnych. Pierwszymi, którzy stosowali liczby ujemne, byli matematycy indyjscy w VI i VII w. n. e. Używali ich dla potrzeb rachunkowych, mianowicie długi zapisywano jako wartości ujemne. Na zachodzie liczby ujemne pojawiły się dopiero w XV wieku jako osobne byty numeryczne, którym jednak odmawiano istnienia w postaci liczb. Otrzymały nazwę numeri absurdi i nie były uważane za możliwe rozwiązanie równania. Dopiero w XVII wieku angielski matematyk John Wallis zastosował współrzędne ujemne do punktów krzywej.