Liczby Fermata
W 1640 roku Pierre de Fermat napisał do swojego przyjaciela Bernarda Frénicle'a:
Jestem przekonany, że
22n + 1
jest zawsze liczbą pierwszą. Nie mam na to pełnego dowodu, ale wykluczyłem tak wielką liczbą podzielników z
pomocą dowodów nie do obalenia, i tak wielkie światło przyświeca mej myśli, że z trudem mógłbym odrzucić tę
hipotezę.
Liczby tej postaci nazwano dla upamiętnienia Fermata, który pierwszy badał ich własności.
Liczby postaci Fn = 22n + 1, gdzie n = 0, 1, 2, ... nazywamy liczbami Fermata.
W 1732 roku Leonhard Euler wykazał, że każdy dzielnik liczby Fn, dla n większego od jedności musi mieć postać k · 2n+2 + 1. Odkrył w ten sposób, że piąta liczba 225 + 1 czyli 232 + 1 = 4294967297 jest podzielna przez 641, nie jest więc liczbą pierwszą.
Ponieważ liczby Fn rosną bardzo szybko, więc badanie ich pierwszości jest pracochłonne wraz ze wzrostem n.
Niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss udowodnił, że jeśli p jest liczbą pierwszą Fermata, to za pomocą cyrkla i linijki można skonstruować p-kąt foremny, stosując się do reguł Euklidesa. Ogólnie można zbudować każdy 2kpqr...-kąt, gdzie p, q, r, ... są różnymi liczbami pierwszymi Fermata.