Równania logarytmiczne

Równaniem logarytmicznym nazywamy takie równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.

Dziedzina równania
Wyrażenia logarytmowane i podstawa logarytmów muszą być dodatnie, oraz podstawa logarytmu dodatkowo nie może być równa 1. Ograniczenia te wyznaczają dziedzinę równania logarytmicznego.

Rozwiązywanie równań logarytmicznych
Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych często korzysta się z własności logarytmów. Jedną z metod rozwiązywania równań logarytmicznych jest doprowadzenie obu stron równania do logarytmu wyrażenia przy tej samej podstawie. Następnie korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej można, przy odpowiednich założeniach, równość logarytmów zastąpić równością liczb logarytmowanych zgodnie z zasadą:
log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x)

Rozwiązanie równania logarytmicznego postaci f(log_ax) = 0 polega na zastosowaniu podstawienia log_ax = t i rozwiązaniu równania f(t) = 0.
Zmienna pomocnicza t może przyjmować wszystkie wartości rzeczywiste, ponieważ zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych. Po rozwiązaniu tego równania wracamy do zmiennej x.

Aby rozwiązać równanie logarytmiczne w przypadku, gdy logarytm nie występuje w potędze ani w wyrażeniu wymiernym należy:

1. Ustalić odpowiednie założenia, rozwiązać je i poszukać dziedzinę równania.
2. Każdą liczbę wolno stojącą zamienić na logarytm wykorzystując wzór a = log_cc^a.
3. Każdą liczbę stojąca przed logarytmem włączyć jako wykładnik liczby logarytmowanej korzystając ze wzoru m · log_ax = log_ax^m.
4. Wykorzystując prawa działań na logarytmach, lewą i prawą stronę równania doprowadzić do takiej postaci, aby po obu stronach wystąpił tylko jeden logarytm.
5. Porównać liczby logarytmowane.
6. Sprawdzić czy rozwiązanie należy do dziedziny.