Logarytmy

Czym jest logarytm? Załóżmy, że mamy równanie $a^c = b$. Aby obliczyć liczbę $b$, znając liczby $a$ i $c$, wykonujemy potęgowanie. Aby obliczyć $a$, znając wartości liczb $b$ i $c$, wykonujemy pierwiastkowanie. Pozostała ostatnia kombinacja, tzn., aby obliczyć wykładnik $c$, znając wartości $a$ i $b$, wykonujemy działanie, które przyjęto nazywać logarytmowaniem.

Jeżeli mamy więc zależność $a^c = b$, to znając $a$ oraz $b$, szukamy takiego $c$, które spełni nasze równanie.
Zapisujemy wówczas $c = \log_{a}b$ i czytamy logarytm z liczby $b$ przy podstawie $a$.

Logarytmem liczby $b$ przy podstawie $a$ jest zatem wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę $a$, aby otrzymać liczbę logarytmowaną $b$. Musimy tu przyjąć pewne założenia. Logarytm istnieje wówczas, gdy podstawa $a$ logarytmu jest liczbą dodatnią i jednocześnie różną od $1$, a liczba logarytmowana $b$ jest liczbą dodatnią.

Jeżeli $a \in R^+\backslash\{1\}$ i $b \in R^+$, to
$$\log_{a}b = c \iff a^c = b$$ $a$ - podstawa logarytmu,
$b$ - liczba logarytmowana,
$c$ - logarytm z liczby $b$ przy podstawie $a$.

Przykłady
$\log_2 2 = 1$, bo $2^1 = 2$
$\log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$
$\log_5 25 = 2$, bo $5^2 = 25$
$\log_{10} 1000 = 3$, bo $10^3 = 1000$
$\log_{2} 0.5 = \log_{2} \frac{1}{2} = -1$, bo $2^{-1} = \frac{1}{2}$
$\log_{3} \frac{1}{9} = \log_{3} 3^{-2} = -2$, bo $3^{-2} = \frac{1}{9}$
$\log_{10} 0.1 = \log_{10} \frac{1}{10} = \log_{10} 10^{-1} = -1$, bo $10^{-1} = 0.1$

Jeśli podstawa logarytmu nie jest podana to przyjmuje się, że wynosi $10$. Zapis $\log 5$ oznacza logarytm z $5$ przy podstawie $10$. Czasami w wyrażeniach pomija się podstawę, ponieważ jest ona nieistotna, a rozważane wyrażenia pozostają prawdziwe niezależnie od podstawy. Np. $\log 1 = 0$, $\log x^a = a\log x$, niezależnie od podstawy podane wyrażenia są zawsze prawdziwe.

Podstawowe własności logarytmów
$\log_{a}1 = 0$
$\log_{a}a = 1$
$\log_{a}a^b = b$
$a^{\log_{a}b} = b$

Logarytm dziesiętny
Logarytm naturalny
Prawa działań na logarytmach
Równania logarytmiczne

Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się na początku XVII w. Jost Burgi i niezależnie John Napier opublikowali tablice logarytmów, które stały się dobrodziejstwem dla siedemnastowiecznych nawigatorów i astronomów. Przywitali oni z radością nowe tablice logarytmów, które w cudowny sposób przemieniły mnożenie w dodawanie. Własność logarytmów, dzięki której z pomocą tablic lub dwóch linijek z logarytmiczną skalą, można było dodawać zamiast mnożyć przez setki lat ułatwiała astronomom życie. Dziś, w epoce komputerów, tablice logarytmiczne są już raczej tylko ciekawostką historyczną.

"Wiedząc, że nie ma niczego, co byłoby tak kłopotliwe w praktyce matematycznej, co mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie dużych liczb, - żmudne, czasochłonne, a przy tym często podatne na niebezpieczne błędy - zacząłem w głębi ducha rozważać, za pomocą jakiego sposobu mógłbym usunąć te przeszkody." John Napier