Równania z wartością bezwzględną

Podczas rozwiązywania równań z wartością bezwzględną korzystamy z własności
$| x | = a \Leftrightarrow (x = a \lor x = - a)$ .

Przykłady

|x| = 2
x = 2 lub x = -2

|x + 2| = 5
x + 2 = 5 lub x + 2 = -5
x = 3 lub x = -7

|x - 4| = 2
x - 4 = 2 lub x - 4 = -2
x = 6 lub x = 2

|x + 3| = 0
x + 3 = 0 (tylko z liczby zero wartość bezwzględna jest równa zero)
x = -3

|x + 3| = -2
Wartość bezwzględna nie może być liczbą ujemną. Równanie nie ma rozwiązania.

|-2x - 3| = 5
-2x - 3 = 5 lub -2x - 3 = -5
-2x = 8 lub -2x = -2
x = -4 lub x = 1

|-2x - 3| = 5
-2x - 3 = 5 lub -2x - 3 = -5
-2x = 8 lub -2x = -2
x = -4 lub x = 1

W przypadku równań typu $\sqrt{(2 - x)^{2}} = 4$ możemy skorzystać z własności $\sqrt{x^{2}} = | x |$
Zatem $\sqrt{(2 - x)^{2}} = | 2 - x |$
Nasze równanie przyjmuje postać |2 - x| = 4
2 - x = 4 lub 2 - x = -4
x = -2 lub x = 6

|x - 1| + |x + 3| = 4

W powyższym równaniu są dwie wartości bezwzględne. Rozwiązując to równanie korzystamy z definicji wartości bezwzględnej. Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, jeśli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest większe lub równe zero, możemy opuścić wartość bezwzględną, jeśli wyrażenie jest ujemne, opuszczamy wartość bezwzględną zapisując wartość całego wyrażenia ze znakiem minus.

Wyznaczamy liczby w jakich zerują się poszczególne wartości bezwzględne, tzn. wyznaczamy przedziały x - a i rozwiązujemy równania w tych przedziałach.

Równanie |x - 1| + |x + 3| = 4 rozwiązujemy w trzech przedziałach:
(-∞; -3>, (-3; 1>, (1; ∞)

Przedział pierwszy: x ∈ (-∞; -3>
x - 1 < 0, zatem |x - 1| = -x + 1
x + 3 ≤ 0, zatem |x + 3| = -x - 3
Dla tego przedziału równanie |x - 1| + |x + 3| = 4 ma postać:
-x + 1 - x - 3 = 4
-2x = 6
x = -3
Liczba x = -3 należy do przedziału (-∞; -3>, więc jest rozwiązaniem równania.

Przedział drugi: x ∈ (-3; 1>
x - 1 ≤ 0, zatem |x - 1| = -x + 1
x + 3 > 0, zatem |x + 3| = x + 3
Dla tego przedziału równanie |x - 1| + |x + 3| = 4 ma postać:
-x + 1 + x + 3 = 4
4 = 4
Każda liczba x ∈ (-3; 1> jest rozwiązaniem równania.

Przedział trzeci: x ∈ (1; ∞)
x - 1 > 0, zatem |x - 1| = x - 1
x + 3 > 0, zatem |x + 3| = x + 3
Dla tego przedziału równanie |x - 1| + |x + 3| = 4 ma postać:
x - 1 + x + 3 = 4
2x = 2
x = 1
Liczba x = 1 nie należy do przedziału (1; ∞), zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Rozwiązanie równania |x - 1| + |x + 3| = 4 to suma rozwiązań w poszczególnych przedziałach.
Ostatecznie rozwiązaniem równania |x - 1| + |x + 3| = 4 są x ∈ <-3; 1>

Zadania - równania z wartością bezwzględną