Rozkład wielomianu na czynniki
Każdy wielomian W(x) ≠ 0 posiada pierwiastek, tzn. zawsze istnieje taka liczba
x1, że W(x1) = 0. Pierwiastek x1, może być
liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Z twierdzenia tego wynika następujące twierdzenie:
Każdy wielomian stopnia n ma dokładnie n pierwiastków.
Jest to zasadnicze twierdzenie algebry i mówi ono, że wielomian stopnia n ma dokładnie n pierwiastków, jednak nie wszystkie z nich muszą być liczbami rzeczywistymi, zwykle są liczbami zespolonymi.
Każdy wielomian W stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych.
Z powyższego twierdzenia i twierdzenia Bezouta wynika, że jeśli wielomian W n-tego stopnia
ma n pierwiastków x1, x2, ..., xn, to
W(x) = an(x - x1)(x - x2)
· ... · (x - xn)
Przedstawienie wielomianu w postaci iloczynu czynników nazywa się rozkładem wielomianu na czynniki.
Jeżeli liczby x1, x2, ..., xn są
pierwiastkami wielomianu W(x) n-tego stopnia, to wielomian ten można przedstawić w
postaci iloczynowej
W(x) = an(x - x1)(x - x2)
· ... · (x - xn)