Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (ciąg arytmetyczny)

Zadanie 12

Wyznacz ciąg arytmetyczny, mając dane: a₅ = 31, a₉ = 55.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć ciąg arytmetyczny, trzeba znaleźć jego pierwszy wyraz a₁ oraz różnicę r.

Sposób I
W zadaniu możemy posłużyć się wzorem a_n = a₁ + (n - 1) · r,
a₅ = a₁ + (5 - 1) · r = a₁ + 4r
a₉ = a₁ + (9 - 1) · r = a₁ + 8r
korzystając z danych a₅ = 31, a₉ = 55, tworzymy układ równań:
${\begin{array}{cc} a_{1} + 4 r = 31 \\ a_{1} + 8 r = 55 \end{array}$
który najłatwiej rozwiązać metodą przeciwnych współczynników. Mnożymy pierwsze równanie przez -1
${\begin{array}{cc} - a_{1} - 4 r = - 31 \\ a_{1} + 8 r = 55 \end{array}$
i dodajemy równania stronami:
$- a_{1} + a_{1} - 4 r + 8 r = - 31 + 55$
$4 r = 24$
r = 6

Pierwszy wyraz a₁ znajdujemy, wstawiając r do np. pierwszego równania
a₁ + 4r = 31
a₁ + 4 · 6 = 31
a₁ = 31 - 24
a₁ = 7

Sposób II
Różnica a₉ - a₅ = 55 - 31 = 24
Należy zauważyć, że pomiędzy piątym i dziewiątym wyrazem są cztery różnice r (9 - 5 = 4).
Różnica r jest ilorazem 24 przez 4 i w tym przypadku wynosi 6.

Pierwszy wyraz a₁ możemy policzyć jak w sposobie I ze wzoru: a_n = a₁ + (n - 1) · r
a₁ + 4r = 31
a₁ + 4 · 6 = 31
a₁ = 31 - 24
a₁ = 7

Odp. a₁ = 7, r = 6.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>