Zbiór zadań, (zadania ciekawe)
Zadanie 3
Zadanie Diofantosa
Znajdź trzy takie liczby, których suma, a także suma każdej pary tych liczb jest
kwadratem innej liczby.
Rozwiązanie
Liczby te to: 80, 320, 41.
80 + 320 + 41 = 441 = 212
Suma każdej pary tych liczb jest również kwadratem:
320 + 80 = 400 = 202
320 + 41 = 361 = 192
80 + 41 = 121 = 112
Jak Diofantos znalazł te liczby?
Założył, że
a + b + c =
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
a + b = x2
b + c = x2 - 2x + 1 =
(x - 1)2
Z tych równań wyznaczył a = 4x
oraz c = 2x + 1,
skąd a + c = 6x + 1.
Biorąc pod uwagę, że a + c jest kwadratem innej liczby,
x może mieć wartość równą tylko 20.
powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>