Szereg geometryczny (ciąg sum częściowych)

Szereg geometryczny

Ciąg nieskończony (S_n) o wyrazie ogólnym S_n = a₁ + a₁q + a₁q² + ... + a₁q^n-1 nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego (a_n) lub szeregiem geometrycznym.
a₁ + a₁q + a₁q² + ... + a₁q^n-1 + ... = $\overset{\infty}{\sum_{n = 1}} a_{1} \cdot q^{n - 1}$

Ciąg sum częściowych (S_n) ciągu geometrycznego jest zbieżny i ma granicę S (szereg geometryczny ma sumę S), wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1 lub a₁ = 0 i wówczas: $S = lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q}$ , gdy |q| < 1 lub
S = 0, gdy a₁ = 0

Ułamki okresowe
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Korzystając z własności ciągu geometrycznego można zamienić ułamek nieskończony okresowy na ułamek zwykły.