Tożsamości trygonometryczne

Poniższe wzory są prawdziwe dla dowolnych α i β. oprócz tych, dla których tgα, tgβ ctgα, ctgβ jest nieokreślony.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{1}{ctg α}$
$ctg α = \frac{cos α}{sin α} = \frac{1}{tg α}$
sin²α + cos²α = 1 (jedynka trygonometryczna)
tgα · ctgα = 1

Funkcje kąta podwójnego

sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1
tg2α = $\frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}$
ctg2α = $\frac{{ctg}^{2} α - 1}{2 ctg α}$

Funkcje połowy kąta

$sin \frac{α}{2} = ą \sqrt{\frac{1 - cos α}{2}}$
$cos \frac{α}{2} = ą \sqrt{\frac{1 + cos α}{2}}$
Znak + lub - wybieramy zależnie od tego, do której ćwiartki należy końcowe ramię kąta $\frac{π}{2}$ .

$tg \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{sin α}$
$ctg \frac{α}{2} = \frac{1 + cos α}{sin α}$

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ

tg(α + β) = $\frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}$
ctg(α + β) = $\frac{ctg α \cdot ctg β - 1}{ctg α + ctg β}$
tg(α - β) = $\frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β}$
ctg(α - β) = $\frac{ctg α \cdot ctg β + 1}{ctg α - ctg β}$ .

Suma i różnica funkcji trygonometrycznych

sinα + sinβ = $2sin \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}$
cosα + cosβ = $2cos \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}$
sinα - sinβ = $2sin \frac{α - β}{2} \cdot cos \frac{α + β}{2}$
cosα - cosβ = $- 2sin \frac{α + β}{2} \cdot sin \frac{α - β}{2}$

tgα + tgβ = $\frac{sin (α + β)}{cos α \cdot cos β}$
ctgα + ctgβ = $\frac{sin (α + β)}{sin α \cdot sin β}$
tgα - tgβ = $\frac{sin (α - β)}{cos α \cdot cos β}$
ctgα - ctgβ = $\frac{sin (α - β)}{sin α \cdot sin β}$