Własności funkcji ciągłych

Funkcje wielomianowe, funkcja potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna, funkcje trygonometryczne oraz funkcje cyklometryczne są ciągłe w swoich dziedzinach.

Jeżeli funkcje f i g określone w tej samej dziedzinie X są ciągłe w punkcie x₀ ∈ X, to funkcje: f + g, f - g, f · g, $\frac{f}{g}$ , gdzie g(x₀) ≠ 0, są ciągłe w punkcie x₀

Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej
Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i malejącej (rosnącej) jest ciągła i malejąca (rosnąca).

Twierdzenie o ciągłości funkcji złożonej
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀ oraz funkcja g(w) jest ciągła w punkcie w₀ = fx₀, to funkcja g(fx₀) jest ciągła w punkcie x₀.

Twierdzenie Darboux (O przyjmowaniu wartości pośrednich)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b> oraz:
- f(a) < f(b),
- p ∈ (f(a), f(b)),
to istnieje taki punkt c ∈ (a, b) dla którego f(c) = p.

Twierdzenie Bolzano - Cauchy'ego (O zerowaniu się funkcji)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b>, i f(a)f(b) < 0, to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), dla którego f(c) = 0.

Twierdzenie Weierstrassa (O osiąganiu kresów)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b>, to jest w nim ograniczona oraz istnieją takie punkty c₁, c₂ należące do tego przedziału, dla których
$f (c_{1}) = inf_{< a, b >} f (x)$ i $f (c_{2}) = sup_{< a, b >} f (x)$ .

Twierdzenie o lokalnym znaku funkcji
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ oraz
f(x₀) > 0 (f(x₀) < 0),
To istnieje takie otoczenie U(x₀, ε), że dla każdego x∈U(x₀, ε) spełniona jest nierówność
f(x₀) > 0 (f(x₀) < 0).

Twierdzenie o wprowadzaniu granicy do argumentu funkcji ciągłej
Jeżeli istnieje granica właściwa $lim_{x \to x_{0}} f (x) = g$ i funkcja h(z) jest ciągła w punkcie
z₀ = g, to $lim_{x \to x_{0}} h (f (x)) = h (lim_{x \to x_{0}} f (x)) = h (x)$ .

Twierdzenie Cantora
Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym <a, b> jest w tym przedziale jednostajnie ciągła.
Wniosek: Każda funkcja jednostajnie ciągła w przedziale X jest w tym przedziale ciągła.