Analiza matematyczna, zadanie nr 1229

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
a1a1a1 postów: 28	2013-04-02 01:55:53 1) Określić funkcję f(x) w punkcie x = 0 tak, aby była ona ciągła a) f (x) = $\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ b) f (x) = x sin $\frac{\pi}{x}$ c) f (x) = $\frac{sin^2 x}{1 - cos x}$ 2) obliczyć następujące funkcje : a) $\lim_{x \to 0}$ $(1 - 3x)^{\frac{1}{x}}$ b) $\lim_{x \to 0}$ $\sqrt[x]{1 + sin x}$ c) $\lim_{x \to \frac{1}{2}}$ $\frac{arc sin(1 - 2x)}{4x^2 - 1}$ d) $\lim_{x \to 0}$ $(1 + kx)^{\frac{n}{x}}$ 3) Zbadać ciągłość następujących funkcji : a) f (x) = $\frac{x^2 - 25}{x + 5}$ dla x $\neq$ 5 i f (-5) = -10 b) f (x) = $\frac{sin x}{x}$ dla x $\neq$ 0 i f (0) = 1 c) f (x) $\frac{sin x}{\|x\|}$ dla x $\neq$ 0 i f (0) = 1 d) f (x) = x + $\frac{1}{x}$ e) f (x) = x - $[x]$ f) f (x) = $\frac{x^2 - x^3}{\|x - 1\|}$ g) f (x) = $[x]$ + $[ - x]$

tumor postów: 8070	2013-04-02 08:10:57 1). Zadanie polega w praktyce na policzeniu granicy funkcji w $x=0$. a) $\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}=\lim_{x \to 0}\frac{x}{x}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}$ $f(0)=\frac{1}{2}$

tumor postów: 8070	2013-04-02 08:11:19 b) $\lim_{x \to 0}xsin\frac{\pi}{x}=0$ (bo mamy iloczyn funkcji zbieżnej do 0 i ograniczonej) $f(0)=0$

tumor postów: 8070	2013-04-02 08:11:38 c) $\lim_{x \to 0}\frac{sin^2x}{1-cosx}=\lim_{x \to 0}\frac{1-cos^2x}{1-cosx}=\lim_{x \to 0}\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{1-cosx}=2$ $f(0)=2$

tumor postów: 8070	2013-04-02 08:20:25 2. Nie funkcje obliczyć, a granice funkcji. a) $\lim_{x \to 0}(1-3x)^\frac{1}{x}$ Zauważamy podobieństwo tego przykładu do $\lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n})^n=\frac{1}{e}$ $\lim_{x \to 0}(1-3x)^\frac{1}{x}=\lim_{x \to 0}(1-3x)^{\frac{1}{3x}*3}=\lim_{x \to 0}((1-3x)^\frac{1}{3x})^3=\frac{1}{e^3}$

tumor postów: 8070	2013-04-02 08:23:34 b) $\lim_{x \to 0}(1+sinx)^\frac{1}{x}= \lim_{x \to 0}(1+sinx)^{\frac{1}{sinx}*\frac{sinx}{x}}=e^1=e$

tumor postów: 8070	2013-04-02 08:28:04 c) $\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{arcsin(1-2x)}{4x^2-1}$ korzystamy z $\lim_{x \to 0}\frac{arcsinx}{x}=1$ $\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{arcsin(1-2x)}{4x^2-1}= \lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{arcsin(1-2x)}{-(1-2x)(1+2x)}=-\frac{1}{2}$

tumor postów: 8070	2013-04-02 08:34:39 d) $\lim_{x \to 0}(1+kx)^\frac{n}{x}$ zakładam, że $k,n $ nie są równe $0$ (jeśli któraś jest, to przykład się bardzo upraszcza i nie robię) $\lim_{x \to 0}(1+kx)^{\frac{1}{kx}*kn}=e^{kn}$

tumor postów: 8070	2013-04-02 08:53:41 3) Znów chodzi o policzenie odpowiednich granic. a) $\lim_{x \to -5}\frac{x^2-25}{x+5}= \lim_{x \to -5}\frac{(x-5)(x+5)}{x+5}=-10=f(-5)$ czyli ciągła

tumor postów: 8070	2013-04-02 08:54:29 b) $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1=f(0)$ czyli ciągła. Natomiast warto wiedzieć, jak się tę granicę liczy, więc dodam: geometrycznie (kółka, trójkąty, takie tam) udowadniamy nierówność $sinx\le x\le tgx \mbox{ dla } x \in (0,\frac{1}{10}) $ dzielimy przez sinx $1\le \frac{x}{sinx}\le \frac{1}{cosx}$ i odwracamy $1 \ge \frac{sinx}{x}\ge cosx$ z tw. o trzech ciągach/funkcjach otrzymujemy szukaną granicę. Przypadek symetryczny jest symetryczny, dlatego go liczyć nie trzeba. ;)

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj