logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 1229

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tumor
postów: 8070
2013-04-02 08:55:19

c) $\frac{sinx}{|x|}=\left\{\begin{matrix} \frac{sinx}{x} \mbox{ dla } x>0 \\ -\frac{sinx}{x} \mbox{ dla } x<0 \end{matrix}\right.$

Nie ma problemów z ciągłością poza $x=0$. Policzmy granice jednostronne w $x=0$

$\lim_{x \to 0+}f(x)=\lim_{x \to 0+}\frac{sinx}{x}=1=f(0)$
$\lim_{x \to 0-}f(x)=\lim_{x \to 0-}-\frac{sinx}{x}=-1\neq f(0)$

czyli nie jest ciągła w $x=0$




tumor
postów: 8070
2013-04-02 08:55:41

d) $\lim_{x \to 0+}x+\frac{1}{x}=\infty$
$\lim_{x \to 0-}x+\frac{1}{x}=-\infty$

Na pewno nie jest ciągła w $x=0$, niezależnie od tego, jakie przyjmiemy $f(0)$, jeśli jakiekolwiek przyjmiemy. :)


tumor
postów: 8070
2013-04-02 09:05:13

e) $f (x) = x - [x]$

(cechę traktuję tu jak funkcję podłoga. Jeśli chodzi o inne rozumienie, proszę sprostować)

niech $a\notin Z$.
Wtedy dla $x$ należących do pewnego otoczenia punktu a mamy $[x]=[a]$,
czyli $\lim_{x \to a}x-[x]=a-[a]=f(a)$
czyli poza liczbami całkowitymi jest ciągła.

Niech teraz $a\in Z$
Wtedy w sąsiedztwie lewostronnym $(a-\frac{1}{2},a)$ punktu $a$ mamy $[x]=a-1$, natomiast w sąsiedztwie prawostronnym $(a,a+\frac{1}{2})$ punktu $a$ mamy $[x]=a$

Zatem $\lim_{x \to a-}x-[x]=a-(a-1)=1$
$\lim_{x \to a+}x-[x]=a-a=0$

czyli nie jest ciągła dla $x$ całkowitych

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj