logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 1756

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

agusiaczarna22
postów: 106
2013-11-28 00:36:25

Mam daną funkcję:
a)f:$R \to R: f(x)=[x]$ dla $x \in R$
b)$f:R \to R: f(x)=1-x^2$ dla $x>0, f(x)=x^2,$ dla $x \le 0$
i mam korzystają z definicji otoczenia typu $\epsilon -\delta$oraz ciągowej wykazać, że funkcja f nie jest ciągła.A także wskazać zbiór otwarty G taki, że $f^-1(G)$ nie jest otwarty.Proszę o pomoc:(


tumor
postów: 8070
2013-11-28 11:37:06

a)

Weźmy $x_0\in Z$. Zresztą na dobrą sprawę można konkretnie, $x_0=1$.
Wystarczy nieciągłość w jednym punkcie, nie? :)

$f(1)=1$.

Weźmy $0<\epsilon<1$.
Wówczas dla dowolnej $\delta>0$ mamy $f(x-\frac{\delta}{2})\le 0 < 1-\epsilon$, co przeczy definicji ciągłości Cauchy'ego.

Dla Heinego: bierzemy ciąg wyrazów $x_n=1-\frac{1}{n}\rightarrow 1$
Mamy $f(x_n)=0$ dla $n\in N$, zatem $f(x_n) \rightarrow 0 \neq f(1)$, co przeczy definicji ciągłości Hainego.


tumor
postów: 8070
2013-11-28 11:45:16

b) $x_0=0$

$f(0)=0$

Heinego:
$x_n=\frac{1}{n}\rightarrow 0$
$f(x_n)=1-\frac{1}{n^2} \rightarrow 1 \neq f(0)$

Cauchy'ego:
$0<\epsilon<\frac{1}{2}$ dowolny
$\delta>0$ dowolna
Weźmy za $h$ minimum z liczb $\frac{\delta}{2}$, $\frac{1}{2}$.
Mamy $f(h)=1-h^2>f(0)+\epsilon$

Wiadomość była modyfikowana 2013-11-28 11:55:16 przez tumor

tumor
postów: 8070
2013-11-28 11:58:07

i jeszcze ten otwarty zbiór.
a) $G=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$
$f^{-1}(G)=[1,2)$

b) $G=(-\frac{1}{4},\frac{1}{4})$
$f^{-1}(G)=(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{5}}{2})\cup (-\frac{1}{2};0]$


agusiaczarna22
postów: 106
2013-11-28 19:43:33

A jeśli mam takie warunki:
1.Dla każdego otoczenia $U$ punktu $f(a)$ istnieje otoczenie $V$ punktu $a$ takie, że $f(V)=U$.
2.$\forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0} f(K_{\delta}(a))\subset K_{\varepsilon}f(a)$
3.$\forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{x\in X}d_X(x,a)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon$
4.Dla każdego ciągu $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów $X$ mamy $x_n\to a\Rightarrow f(x_n)\to f(a)$.
I musiałabym z tych definicji wykazać, że nie są ciągłe to jak to zrobić??

Wiadomość była modyfikowana 2013-11-28 19:47:54 przez agusiaczarna22

tumor
postów: 8070
2013-11-28 21:02:27

No przede wszystkim musisz nauczyć się czytać. Bo te warunki najwyraźniej nic dla Ciebie nie znaczą. :)

2 i 4 zrobiłem wyżej dla obu funkcji. Warunek 1 w praktyce też jest zrobiony przez podanie zbiorów otwartych, których przeciwobrazy nie są otwarte. Bo skoro nie są otwarte, to zawierają jakiś punkt nie należący do wnętrza, zatem obraz otoczenia tego punktu będzie wystawał poza otoczenie U punktu f(a).

Tylko naprawdę musiałabyś ROZUMIEĆ, o czym ja piszę. A podejrzewam, że chętniej byś przepisała zadanie rozwiązane co do litery, żeby takie przedstawić.

---

Gdy ktoś pyta jak sprawdzić, czy ser jest w lodówce, może mu powiedzieć "idź, otwórz, patrz". Ale jeśli on patrzy w dobrą stronę, a pyta jeszcze, jak ma ZOBACZYĆ, czy ser tam jest, to już z patrzeniem tej osoby nie jest dobrze. Zadanie rozwiązałem tak, jak chciałaś. A teraz mnie pytasz jeszcze JAK je zrobić, bo nie widzisz nawet, że jest zrobione.
Oczywiście pełne rozwiązanie składa się z idei, jej formalnego zapisania i jakiegoś komentarza ułatwiającego czytanie. Ideę dałem pełną, formalny zapis na kilka sposobów, ale nieco skrócony, natomiast komentarz w jednym przypadku mniejszy, w jednym większy. Jeśli czegoś może braknąć, to komentarza, ale nie rozumiesz ani idei, ani matematycznego formalizmu. Co ja mam z tym zrobić? Uczże się w końcu :)


agusiaczarna22
postów: 106
2013-11-28 21:46:50

No właśnie tak sobie myślałam, że te dwa są z tąd ale wolałam się upewnić, bo jeśli nie jestem czegoś pewna to wole się dopytać :) A na wykładzie musieliśmy zaprzeczać a ja nie wiem jak zresztą jak reszta:) I dlatego wole się upewnić niż przepisać i dalej nie wiedzieć:) mam pytanie takie tutaj powinno się robić rysunki czy nie?? Ja oczywiście wole to zrozumieć, ale naprawde nie jest to łatwe jakoś ten przedmiot leży mi ale bardzo bym chciała to umieć, ucze się i uczę i nie mogę tego ogarnąć :( Miałam podobny problem z logiką ale to jakos ogarnęłam wkońcu a tu jest masakra:(


tumor
postów: 8070
2013-11-28 21:55:52

Zacznij od podstaw.

Od tego, co to otoczenie otwarte. Zbiór otwarty. Kula otwarta. Jest obojętne, czy napiszę
$x\in K_e(y,r)$
czy $|x-y|<r$
czy $d_e(x,y)<r$
czy $x-r<y<x+r$
czy $y-r<x<y+r$
To tylko drobne stylistyczne różnice przy tym samym sensie. W definicji ciągłości używa się różnych zapisów. Naturalna topologia na R (związana z naturalną, czyli euklidesową, metryką) odpowiada intuicji. Tam zbiory otwarte są rzeczywiście otwarte, czyli pozbawione brzegów, przeciwnie do domkniętych, które mają "szczelny" brzeg. Mówimy zatem o najprostszym i najłatwiej trafiającym do umysłu przykładzie. Tylko ucz się to czytać!

Ciągłość funkcji przy tej topologii na rysunku wygląda po prostu jak brak przerw, rozerwań. Jak najbardziej intuicyjna ciągłość. A definicje i warunki równoważne po prostu pozwalają łatwiej ciągłość badać i w trudniejszych przypadkach.


agusiaczarna22
postów: 106
2013-11-28 22:02:51

A jeśli chodzi o domknięte zbiory to na tej samej zasadzie jak otwarte tak? A funkcja nieciągła to inaczej mogłabym powiedzieć, że to jest zaprzeczenie tym równoważnościom i jest to jakaś np. kreska od 1 do 3 na wykresie?żeby bardziej zrozumieć idee funkcji ciągłych to najważniejsza jest definicja tak?:)

Wiadomość była modyfikowana 2013-11-28 22:10:37 przez agusiaczarna22

tumor
postów: 8070
2013-11-28 22:15:04

Zbiory domknięte to dopełnienia zbiorów otwartych.
Jeśli $A$ jest otwarty, to $X\backslash A$ domknięty. Własności zbiorów domkniętych są w związku z tym analogiczne do zbiorów otwartych. Na przykład suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, a przekrój dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym. W funkcji ciągłej przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty, a zarazem przeciwobraz zbioru domkniętego jest domknięty.
Wszystko, co da się powiedzieć o zbiorach otwartych, da się tak przeformułować, żeby mówić o domkniętych. I na odwrót.

Na wykładzie podaje się definicję ciągłości. Jakąś. Jedną z kilku. Potem podaje się warunki, które są równoważne tej definicji. Jest obojętne, który się zastosuje, by pokazać ciągłość (lub jej brak), bo warunki są równoważne, czyli zastosowanie każdego da ten sam wynik. Niektóre stosuje się w konkretnym przypadku łatwiej, inne trudniej, warto mieć trochę wprawy w wyborze właściwego.

Funkcje ciągłe są ważną klasą funkcji. Można na nich wykonywać pewne operacje (a nie na wszystkich funkcjach można), tworzą pewne struktury matematyczne (więc o funkcjach ciągłych jako takich da się wnioskować pewne rzeczy). Funkcje ciągłe zachowują się w pewnym sensie regularnie (są, powiedzmy, łatwiejsze, od funkcji dalekich od ciągłości). W wielu zastosowaniach używa się funkcji ciągłych (ekonomia, fizyka, inżynieria, medycyna, statystyka, informatyka,...) ze względu na to, że mają one wiele zbadanych własności.
Pojęcie ciągłości jest z pewnością BARDZO ważne. Jest obojętne, który warunek nazwie się definicją, a które uzna za dodatkowe. Równoważność warunków oznacza, że każdy z nich jest równie dobry.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj