logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 1756

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

agusiaczarna22
postów: 106
2013-11-30 14:09:57

Mam taką funkcję:
f:$R->R, f(x)=sin \frac{1}{x}$dla $x\neq0$oraz $f(0)=0$

Tu w tym przykładzie mam już podane:
f(0)=0
I muszę dobrać taki x by było różne od zera.
To muszę inny punkt znaleźć tak?
I mam jeszcze takie coś:

$f:R^2 ->R: f(x,y)=x$ dla $x>0, y \in R , f(x,y)=y,$ dla $x \le 0, y \in R$

To tutaj x musi być większy np.1 i x mniejszy bądź równy 0 to mogę wziąć 0?

Wiadomość była modyfikowana 2013-11-30 14:11:37 przez agusiaczarna22

tumor
postów: 8070
2013-11-30 22:25:05

Nie wiem, o czym piszesz. :)

Pierwsza z tych funkcji jest ciągła poza 0 i nieciągła w 0. To taki typowy, modelowy, katowany w każdej grupie przykład.

Druga z tych funkcji jest nieciągła na osi OY (z wyjątkiem punktu (0,0), gdzie jest ciągła).
Jeśli mam coś doradzić, co masz robić, co brać i jak argumentować, musisz mi napisać POLECENIE. :D


agusiaczarna22
postów: 106
2013-12-01 11:37:51

To są kolejne dwa przykłady do tego zadania muszę z nimi zrobić to samo co z tymi wcześniejszymi co Pan napisał :) Czyli
znów mam korzystają z definicji otoczenia typu $\epsilon -\delta$oraz ciągowej wykazać, że funkcja f nie jest ciągła.A także wskazać zbiór otwarty G taki, że $f^-1(G)$ nie jest otwarty.


tumor
postów: 8070
2013-12-01 12:26:02

Uła, masz bezpośredni kontakt z Panem, to się częściej zdarzało dawniej, choć rzadko pisemnie.

Ale wracając z teologii do matematyki:

a)
$\left\{\begin{matrix} sin\frac{1}{x} \mbox{ dla } x\neq 0 \\ 0 \mbox{ dla } x=0 \end{matrix}\right.$

$x_0=0$, $f(x_0)=0$, weźmy dowolnie $0<\epsilon<1$
Wówczas dla każdego $\delta>0$ istnieją $x\in K(0,\delta)$ takie, że $f(x)>f(0)+\epsilon$

Natomiast z ciągów:
Weźmy $x_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\rightarrow 0$, $n\in N^+$
wtedy $sin\frac{1}{x_n}=sin\frac{\pi}{2}=1 \rightarrow 1 \neq f(0)$

Weźmy jako $G$ przedział $(\frac{-1}{2},\frac{1}{2})$. Zauważamy, że $0\in f^{-1}(G)$. Jednakże żadne otoczenie $U$ punktu $0$ nie spełnia $f(U)\subset G$, gdyż $f(U)=[-1,1]$, czyli $f^{-1}(G)$ nie spełnia definicji otwartości.


-----
Nie wiem o jakim dobieraniu $x$ różnego od $0$ piszesz w swoim poście. Ta funkcja w $x$ poza $0$ jest ciągła, zatem dla każdego $\epsilon$ znajdziemy $\delta$, a dla każdego $x_n \rightarrow x$ będzie $f(x_n)\rightarrow f(x)$ i nieciągłości nie pokażemy.


Wiadomość była modyfikowana 2013-12-01 12:30:06 przez tumor

tumor
postów: 8070
2013-12-01 12:56:16

b)
Właściwie mogłabyś też coś spróbować zrobić, prawda? A ja bym tylko sprawdził. Czemu nie robisz?? Ha, pewnie Pan milczy, jak ma pomóc.

Rzutowania są ciągłe. Nieciągłości będziemy szukać na granicy, tam, gdzie funkcja $f$ najpierw jest rzutowaniem na $x$, potem na $y$. Czyli weźmy $x=0$, $y=1$.

$f((0;1))=1$
Ustalmy dowolnie $0<\epsilon<\frac{1}{2}$
W kuli $K((0;1),\epsilon)$ znajduje się punkt $p=(\frac{\epsilon}{2},1)$ dla którego $f(p)<\frac{1}{2}<f((0;1))-\epsilon$

dla ciągów:
weźmy $(\frac{1}{n},1)\rightarrow (0;1)$.
mamy $f((\frac{1}{n},1))=\frac{1}{n}\rightarrow 0 \neq f((0,1))$


No i zbiór
za $G$ weźmy $(\frac{1}{2};1\frac{1}{2})$
$f((0;1))\in G$, ale dowolne otoczenie $U$ punktu $(0;1)$ nie spełnia $f(U)\subset G$, czyli $f^{-1}(G)$ nie jest otwarty.




strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj