Topologia, zadanie nr 1756
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
agusiaczarna22 postów: 106 | 2013-11-30 14:09:57 Mam taką funkcję: f:$R->R, f(x)=sin \frac{1}{x}$dla $x\neq0$oraz $f(0)=0$ Tu w tym przykładzie mam już podane: f(0)=0 I muszę dobrać taki x by było różne od zera. To muszę inny punkt znaleźć tak? I mam jeszcze takie coś: $f:R^2 ->R: f(x,y)=x$ dla $x>0, y \in R , f(x,y)=y,$ dla $x \le 0, y \in R$ To tutaj x musi być większy np.1 i x mniejszy bądź równy 0 to mogę wziąć 0? Wiadomość była modyfikowana 2013-11-30 14:11:37 przez agusiaczarna22 |
tumor postów: 8070 | 2013-11-30 22:25:05 Nie wiem, o czym piszesz. :) Pierwsza z tych funkcji jest ciągła poza 0 i nieciągła w 0. To taki typowy, modelowy, katowany w każdej grupie przykład. Druga z tych funkcji jest nieciągła na osi OY (z wyjątkiem punktu (0,0), gdzie jest ciągła). Jeśli mam coś doradzić, co masz robić, co brać i jak argumentować, musisz mi napisać POLECENIE. :D |
agusiaczarna22 postów: 106 | 2013-12-01 11:37:51 To są kolejne dwa przykłady do tego zadania muszę z nimi zrobić to samo co z tymi wcześniejszymi co Pan napisał :) Czyli znów mam korzystają z definicji otoczenia typu $\epsilon -\delta$oraz ciągowej wykazać, że funkcja f nie jest ciągła.A także wskazać zbiór otwarty G taki, że $f^-1(G)$ nie jest otwarty. |
tumor postów: 8070 | 2013-12-01 12:26:02 Uła, masz bezpośredni kontakt z Panem, to się częściej zdarzało dawniej, choć rzadko pisemnie. Ale wracając z teologii do matematyki: a) $\left\{\begin{matrix} sin\frac{1}{x} \mbox{ dla } x\neq 0 \\ 0 \mbox{ dla } x=0 \end{matrix}\right.$ $x_0=0$, $f(x_0)=0$, weźmy dowolnie $0<\epsilon<1$ Wówczas dla każdego $\delta>0$ istnieją $x\in K(0,\delta)$ takie, że $f(x)>f(0)+\epsilon$ Natomiast z ciągów: Weźmy $x_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\rightarrow 0$, $n\in N^+$ wtedy $sin\frac{1}{x_n}=sin\frac{\pi}{2}=1 \rightarrow 1 \neq f(0)$ Weźmy jako $G$ przedział $(\frac{-1}{2},\frac{1}{2})$. Zauważamy, że $0\in f^{-1}(G)$. Jednakże żadne otoczenie $U$ punktu $0$ nie spełnia $f(U)\subset G$, gdyż $f(U)=[-1,1]$, czyli $f^{-1}(G)$ nie spełnia definicji otwartości. ----- Nie wiem o jakim dobieraniu $x$ różnego od $0$ piszesz w swoim poście. Ta funkcja w $x$ poza $0$ jest ciągła, zatem dla każdego $\epsilon$ znajdziemy $\delta$, a dla każdego $x_n \rightarrow x$ będzie $f(x_n)\rightarrow f(x)$ i nieciągłości nie pokażemy. Wiadomość była modyfikowana 2013-12-01 12:30:06 przez tumor |
tumor postów: 8070 | 2013-12-01 12:56:16 b) Właściwie mogłabyś też coś spróbować zrobić, prawda? A ja bym tylko sprawdził. Czemu nie robisz?? Ha, pewnie Pan milczy, jak ma pomóc. Rzutowania są ciągłe. Nieciągłości będziemy szukać na granicy, tam, gdzie funkcja $f$ najpierw jest rzutowaniem na $x$, potem na $y$. Czyli weźmy $x=0$, $y=1$. $f((0;1))=1$ Ustalmy dowolnie $0<\epsilon<\frac{1}{2}$ W kuli $K((0;1),\epsilon)$ znajduje się punkt $p=(\frac{\epsilon}{2},1)$ dla którego $f(p)<\frac{1}{2}<f((0;1))-\epsilon$ dla ciągów: weźmy $(\frac{1}{n},1)\rightarrow (0;1)$. mamy $f((\frac{1}{n},1))=\frac{1}{n}\rightarrow 0 \neq f((0,1))$ No i zbiór za $G$ weźmy $(\frac{1}{2};1\frac{1}{2})$ $f((0;1))\in G$, ale dowolne otoczenie $U$ punktu $(0;1)$ nie spełnia $f(U)\subset G$, czyli $f^{-1}(G)$ nie jest otwarty. |
strony: 1 2 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj