logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 1861

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

onlyhope69
postów: 20
2014-01-04 18:29:17

Witam proszę o pomoc w takim zadanku:
Zbadaj, czy relacja R$\subset X^{2}$jest relacją równoważności, dla relacji równoważności opisz klasy równoważności.
a)X jest zbiorem ciągów rzeczywistych zbieżnych ($x_{n}$)R($y_{n}$)$\iff$ $\lim_{n \to \infty }$($x_{n}$$\cdot$$y_{n}$)$\ge$0
b)X jest zbiorem ciągów rzeczywistych zbieżnych ($x_{n}$)R($y_{n}$)$\iff$ $\lim_{n \to \infty }$($x_{n}$-$y_{n}$)=0
c)X=P(N) ,ARB$\iff$A$\div$B jest zbiorem skończonym
d)X=P(Y) gdzie Y$\neq$$\emptyset$ i a$\in$Y ARB$\iff$a$\in$(A$\cup$B)


onlyhope69
postów: 20
2014-01-04 18:55:18

Napiszę co udało mi sie zrobić ,proszę o spr i pomoc w reszcie :)
a więc w a)
($x_{n}$)R($x_{n}$)$\iff$$\lim_{n \to \infty}$$x_{n}$$\cdot$$\lim_{n \to \infty}$$x_{n}$$\ge$0 zawsze jest prawdziwe zatem relacja jest zwrotna

($x_{n}$)R($y_{n}$)$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$$\cdot$$y_{n}$)$\ge$0$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($y_{n}$$\cdot$$x_{n}$)$\ge$0$\iff$($y_{n}$)R($x_{n}$) zatem relacja jest symetryczna

($x_{n}$)R($y_{n}$)$\wedge$($y_{n}$)R($z_{n}$)$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$$\cdot$$y_{n}$)$\ge$0$\wedge$$\lim_{n \to \infty}$($y_{n}$$\cdot$$z_{n}$)$\ge$0$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$)$\cdot$$\lim_{n \to \infty}$($y_{n}$)$\ge$0$\wedge$$\lim_{n \to \infty}$($y_{n}$)$\cdot$$\lim_{n \to \infty}$($z_{n}$)$\ge$0 (Jesli granica $y_{n}$jest liczbą dodatnią to granica $x_{n}$ też musi być liczbą dodatnią natomiast jeśli granica $y_{n}$jest liczbą ujemną to granica$x_{n}$ też musi być liczbą ujemną żeby była spełniona relacja,analogicznie z granicą $y_{n}$ i $z_{n}$) zatem $\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$)$\cdot$$\lim_{n \to \infty}$($z_{n}$)$\ge$0$\Rightarrow$($x_{n}$)R($z_{n}$) relacja jest przechodnia


onlyhope69
postów: 20
2014-01-04 19:02:02

Klasy abstrakcji :
$[x_{n}]$={$y_{n}$$\in$ zbioru ciągów rzeczywistych zbieżnych : $\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$$\cdot$$y_{n}$)$\ge$0} dla x$\in$ do zbioru ciągów rzeczywistych zbieżnych do liczby dodatniej lub zera

$[x_{n}]$={$y_{n}$$\in$ zbioru ciągów rzeczywistych zbieżnych : $\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$$\cdot$$y_{n}$)>0} dla x$\in$ do zbioru ciągów rzeczywistych zbieżnych do liczby ujemnej


onlyhope69
postów: 20
2014-01-04 19:16:36

b) ($x_{n}$)R($x_{n}$)$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$-$x_{n}$)=0 zgadza się więc relacja zwrotna
($x_{n}$)R($y_{n}$)$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$-$y_{n}$)=0$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$)-$\lim_{n \to \infty}$($y_{n}$)=0$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$)=$\lim_{n \to \infty}$($y_{n}$)$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($y_{n}$)-$\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$)=0$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($y_{n}$-$x_{n}$)=0 $\iff$($y_{n}$)R($x_{n}$)
relacja jest symetryczna
($x_{n}$)R($y_{n}$)$\wedge$($y_{n}$)R($z_{n}$)$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$-$y_{n}$)=0$\wedge$$\lim_{n \to \infty}$($y_{n}$-$z_{n}$)=0$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$)=$\lim_{n \to \infty}$($y_{n}$)$\wedge$$\lim_{n \to \infty}$($y_{n}$)=$\lim_{n \to \infty}$($z_{n}$)$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$)=$\lim_{n \to \infty}$($z_{n}$)$\iff$$\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$-$z_{n}$)=0$\iff$($x_{n}$)R($z_{n}$) relacja jest przechodnia


onlyhope69
postów: 20
2014-01-04 19:19:41

$[x_{n}]$={$y_{n}$$\in$zbioru ciągów rzeczywistych zbieżnych : $\lim_{n \to \infty}$($x_{n}$)=$\lim_{n \to \infty}$($y_{n}$)} dla $x_{n}$$\in$ zbioru ciągów rzeczywistych zbieżnych


tumor
postów: 8070
2014-01-04 19:26:46

a)
Powinnaś zauważyć nieścisłość, gdy wyszły klasy abstrakcji.
Napisałaś, że są dwie. Jedna z ciągami o granicy nieujemnej, a druga z ciągami o granicy ujemnej. A czemu ciągi o granicy $0$ zaliczasz raczej do pierwszej klasy abstrakcji niż do drugiej? Przecież jeśli $x_n \rightarrow 0$ i $y_n\rightarrow a<0$ to te dwa ciągi są w relacji, iloczyn ich granic jest $0$, czyli granica iloczynu jest $0$. :)

A skoro ciągi zbieżne do $0$ musiałyby być w obu klasach abstrakcji, to sprzeczność, bo każdy element może należeć do jednej. Czyli któryś warunek był policzony źle. :)

Konkretnie machnęłaś się przy przechodniości. Jeśli $x_n$ ma granicę dodatnią, $y_n$ równą $0$, $z_n$ ma granicę ujemną, to $x_nRy_n$, $y_nRz_n$, ale nie jest prawdą, że $x_nRz_n$


tumor
postów: 8070
2014-01-04 19:30:10

b) ok, relacja równoważności. Zauważ przy tym, że klasa abstrakcji jest wyznaczona przez liczbę rzeczywistą (czyli przez ciąg stały). Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wszystkie ciągi zbieżne do niej (i tylko one) tworzyć będą klasę abstrakcji, której najprostszym reprezentantem jest ciąg stały $x_n=x$


onlyhope69
postów: 20
2014-01-04 20:39:29

Wlaśnie w a) nie chcialam zeby ciagi zbieżne do 0 byly w obu klasach abstrakcji dlatego tak kombinowalam :D

b) nie do końca rozumiem , skoro X jest zbiorem ciągów rzeczywistych zbieżnych to mogę sobie wziąść że $x_{n}$$\in$ zbioru ciągów stalych ? i jak powinien wygladac zapis ? $[[x_{n}]$={$y_{n}$$\in$zbioru ciągów rzeczywistych zbieżnych : $\lim_{n \to \infty}$$y_{n}$=x} $x_{n}$$\in$ zbioru ciągów stalych ?? hm ?


onlyhope69
postów: 20
2014-01-04 20:50:15

a w c) mam tak ARA$\iff$A$\div$A jest zb. skończonym $\iff$ A\A$\cup$A\A =$\emptyset$ zatem zb. skończony
ARB$\iff$A$\div$B jest zb.skończonym$\iff$A\B$\cup$B\A jest zb.skończonym$\iff$B\A$\cup$A\B jest zb.skończonym$\iff$B$\div$A jest zb.skończonym$\iff$BRA relacja symetryczna
ARB $\wedge$BRC$\iff$A$\div$B jest zb.skończony $\wedge$B$\div$C jest zb.skończony$\iff$(A\B$\cup$B\A) jest zb.skończony $\wedge$(B\C$\cup$C\B) jest zb.skończony$\iff$ ... dalej nie wiem


onlyhope69
postów: 20
2014-01-04 21:10:56

i w d) ARA$\iff$a$\in$A relacja nie jest zwrotna bo np: Y=(3,8) a=7 A=(4,5) więc a$\in$Y ale a$\notin$A ,czy to dobry przyklad ?

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj