logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 2552

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 865
2014-08-01 20:12:08

W R^3, napisz macierz podobieństwa liniowego, dla którego E_2 jest prostą y-z=x=0.


adamw88
postów: 8
2014-08-01 22:01:20

Czym jest $E_{2}$


geometria
postów: 865
2014-08-01 23:28:07

$E_2$ to przestrzen wlasna dla wartosci wlasnej 2.


adamw88
postów: 8
2014-08-02 11:14:07

Potrzeba wektorów własnych. tej podprzestrzeni.
$\left\{\begin{matrix} x-z=0 \\ y=0 \end{matrix}\right.$
ta prosta jest reprezentowana przez $lin \{ [1,0,1] \}$
To jest przekształcenie z definicji takie,że.
$A[t,0,t]=[2t,0,2t].$
Rozważmy macierz $A=2I$, która spełnia warunki.





geometria
postów: 865
2014-08-02 12:03:22

Wydaje mi sie, ze tam powinno byc
$\left\{\begin{matrix} y-z=0 \\ x=0 \end{matrix}\right.$
Wowczas ten wektor to $[0,1,1]$
prawda?
Moglbym prosic o wytlumaczenie rownosci $A=2I$ ?


tumor
postów: 8070
2014-08-02 13:52:57

Macierze opisują pewne przekształcenia wektorów. Dla danego przekształcenia może istnieć wektor, którego przekształcenie nie rusza zupełnie (np obrót wokół osi nie zmienia wektorów na osi).

Wektory własne macierzy to takie wektory, które po przekształceniu mają zachowany kierunek. Zmienić się może zwrot/długość.

Zatem dla danego wektora $v$ przekształcenie ma z niego zrobić $\alpha v$, wtedy jest to wektor własny.

Innymi słowy przekształcenie $A$ ma na wektorze $v$ zadziałać tak, jak przekształcenie $\alpha I$, zmieniając najwyżej zwrot/długość.
Stąd ogólna idea przyrównywania
$A=\alpha I$ przy szukaniu wektorów i wartości własnych.

W naszym przypadku $\alpha =2$ to wartość własna. Łatwo sprawdzić, że zbiór wektorów o pewnej wartości własnej tworzy podprzestrzeń liniową.
W tym zadaniu odtwarzamy wyjściowe odwzorowanie tak, by właśnie podprzestrzeń wektorów o wartości własnej $2$ była zadaną prostą.


geometria
postów: 865
2014-08-02 15:26:11

Dziekuje.
Wracajac do zadania
$A[0,t,t]=[0,2t,2t]$
$A=2I$
i co dalej? nie wiem jak dalej ma byc


tumor
postów: 8070
2014-08-02 16:10:59

Teraz by trzeba skorzystać z jedynej danej, z której jeszcze nie korzystaliśmy, czyli z faktu, że to "podobieństwo liniowe". Tylko to najwyraźniej nie jest popularna nazwa tego przekształcenia i możemy mieć kłopot z ustaleniem, co poeta miał na myśli. Chyba że ktoś zdefiniował na wykładzie to podobieństwo liniowe?

Do wyboru wówczas będzie parę dróg. Albo będziemy wiedzieć, jaką postać ma macierz $A$ (przynajmniej pewne informacje o niej będą), albo będziemy wiedzieć, jaki wynik daje to przekształcenie na innych wektorach niż $[0,t,t]$, wówczas będziemy rozwiązywać układ równań.
Wiesz, co to podobieństwo liniowe?

Może być tak, że chodzi po prostu o podobieństwo.
Wówczas przekształcenie jest po pierwsze skalowaniem (zachowuje stosunki odległości między punktami), po drugie jednak nie zachowuje kierunków wektorów innych niż $[0,t,t]$, co się załatwi obrotem o kąt (nie $0$ stopni). Czyli można machnąć takie dwa przekształcenia i je złożyć (kolejność, szczęśliwie, dowolna)

Wiadomość była modyfikowana 2014-08-02 17:14:39 przez tumor

geometria
postów: 865
2014-08-02 16:48:34


To znaczy podobienstwo ogolnie to przeksztalcenie afiniczne, czyli oprocz czesci liniowej jest jeszcze czesc translacyjna ale tutaj majac na mysli podobienstwo liniowe chodzi o podobienstwo bez tej czesci translacyjnej.



tumor
postów: 8070
2014-08-02 17:17:01

No to spoko luz.

$\left[\begin{matrix} 2&0&0 \\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{matrix}\right] $jest skalowaniem, ale tu dostalibyśmy $R^3$ jako podprzestrzeń własną.
Czyli to przekształcenie złożyłbym z dowolnym obrotem (poza wielokrotnością $2\pi$) dookoła tej zadanej prostej. Wówczas otrzymane przekształcenie będzie liniowe, zachowa kąty, długości wektorów dwukrotnie zwiększy, zachowa kierunek wektorów na zadanej prostej. Może być? :)

Obrót dookoła tej prostej jest z kolei złożeniem 3 obrotów dookoła osi, tu macierze są proste.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj