Inne, zadanie nr 2552
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2014-08-02 19:16:42Pogubilem sie z tymi obrotami szczerze mowiac. Moglbym poprosic o pokazanie jak to wyglada? |
adamw88 post贸w: 8 | 2014-08-02 19:43:12 To przekszta艂cenie, kt贸re podali艣my mo偶emy z艂o偶y膰 z dowolnym obrotem dooko艂a tej prostej, aby pozosta艂a przekszta艂ceniem o zadanej postaci. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-02 20:55:40 Obroty o k膮t $\alpha$ wzgl臋dem osi to $\left[\begin{matrix} cos\alpha &-sin \alpha&0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$ $\left[\begin{matrix} cos\alpha&0 &-sin \alpha \\ 0&1&0 \\ sin\alpha & 0& cos\alpha \end{matrix}\right]$ $\left[\begin{matrix} 1&0&0 \\0 & cos\alpha&-sin \alpha \\ 0& sin\alpha & cos\alpha \end{matrix}\right]$ W zadaniu masz pewne przekszta艂cenie liniowe dane macierz膮 A. Wiesz o tym przekszta艂ceniu, 偶e jest podobie艅stwem. Oznacza to, 偶e je艣li pewne wektory s膮 przekszta艂cone na dwa razy d艂u偶sze (to wiemy z tre艣ci), to wszystkie s膮 przekszta艂cane na dwa razy d艂u偶sze. Poza tym wiemy, 偶e kierunek i zwrot zachowuj膮 TYLKO wektory le偶膮ce na prostej $t[0,1,1], t\in R$, to wiemy z informacji o podprzestrzeni w艂asnej dla warto艣ci 2 (d艂ugo艣ci wszystkich wektor贸w si臋 mno偶膮 przez 2). Nasze przekszta艂cenie macierzy A nie mo偶e by膰 zatem samym skalowaniem (zwi臋kszeniem d艂ugo艣ci wszystkich wektor贸w przy zachowaniu kierunku i zwrotu). Do wyboru jest skalowanie z艂o偶one z symetri膮 p艂aszczyznow膮 (ale wtedy $E_2$ by艂oby p艂aszczyzn膮 symetrii), skalowanie z艂o偶one z dwiema symetriami, skalowanie z艂o偶one z trzema symetriami. Korzystamy tu z twierdzenia, 偶e wszystkie izometrie s膮 z艂o偶eniami co najwy偶ej trzech symetrii. Nie interesuj膮 nas translacje. Z艂o偶enie dw贸ch symetrii mo偶e da膰 obr贸t wok贸艂 osi. Dlatego nasze odwzorowanie A mo偶e by膰 na przyk艂ad z艂o偶eniem skalowania i obrotu o k膮t, czyli dw贸ch prostszych przekszta艂ce艅. (tak jak funkcja bywa z艂o偶eniem kilku funkcji prostszych do ogarni臋cia). Jednak偶e obr贸t o dowolny k膮t wok贸艂 prostej $t[0,1,1]$ mo偶e by膰 niezupe艂nie intuicyjny, czyli niekoniecznie bez wprawy napiszemy dobrze jego macierz. O wiele 艂atwiej napisa膰 ten obr贸t jako z艂o偶enie 3 prostszych obrot贸w, czyli obrot贸w o macierzach takich jak te zapisane wy偶ej. Narysuj sobie uk艂ad wsp贸艂rz臋dnych. Orientacja jaka tam chcesz. I narysuj w tym uk艂adzie wektor $v=[0,1,1]$ (o d艂ugo艣ci $\sqrt{2}$) oraz punkt o dowolnych wsp贸艂rz臋dnych $(x,y,z)$ le偶膮cy poza prost膮 $t[0,1,1]$. Chcemy OBRACA膯 ten punkt dooko艂a prostej. To samo mo偶na wykona膰 obracaj膮c najpierw ca艂膮 przestrze艅 WOK脫艁 ox (tak, by wektor v na艂o偶y艂 si臋 na o艣 oy lub oz, w obu przypadkach to k膮t 45 stopni, tylko r贸偶ne kierunki). Nast臋pnie ca艂膮 przestrze艅 wok贸艂 oy lub oz (o dowoln膮 ilo艣膰 stopni, wyb贸r osi zale偶y od kierunku pierwszego obrotu), a nast臋pnie cofn膮膰 ten pierwszy obr贸t wok贸艂 ox, czyli wykona膰 analogiczny, ale o k膮t przeciwny. Takie trzy obroty z艂o偶one ze sob膮 (macierze przemno偶one) daj膮 w efekcie obr贸t wok贸艂 prostej $t[0,1,1]$. Zatem A=BCDE, gdzie B jest skalowaniem (razy 2), C i E s膮 obrotami wok贸艂 ox o 45 stopni (raz w jedn膮 raz w drug膮 stron臋), a D jest obrotem o $\alpha$ wok贸艂 oy lub oz zale偶nie od tego, gdzie nam wypad艂 obraz wektora v po pierwszym przekszta艂ceniu. :) Umiesz mno偶y膰 macierze, wi臋c dostaniesz macierz A po wymno偶eniu 4 prostych macierzy uzyskanych wcze艣niej. W $R^3$ masz zwyczajn膮 euklidesow膮 geometri臋, korzystaj z wyobra藕ni. Obracaj sobie punkty, wektory, proste, p艂aszczyzny, przestrze艅. :) |
geometria post贸w: 865 | 2014-08-13 11:33:21 Chcialbym zapytac jak tutaj zapisac macierz? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-13 12:54:02 W TEX? Ja u偶ywam przycisku $\left\{\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}\right.$ nast臋pnie zast臋puj臋 left\{ przez $left[$ a right. przez $right]$ Elementy wiersza oddzielamy znakiem & na przyk艂ad a&c&d a wiersze znakiem \\ st膮d \left$[\backslash$ begin{matrix} a&c&d \\ b&r&t \\ k&i&u \end{matrix}\right$]$ daje macierz $\left[\begin{matrix} a&c&d \\ b&r&t \\ k&i&u \end{matrix}\right]$ |
geometria post贸w: 865 | 2014-08-13 18:40:06 Chce napisac ulamek: 1 przez pierwiastek z 2. Robie tak: $\frac{1}{$\sqrt{2}$}$ ale nie wychodzi. Gdzie robie blad? tzn. nie widac tego dokladnie co napisalem ale najpierw biore ulamek: w miejsce a pisze 1 w miejsce b chce napisac pierwiastek z 2 uzywajac TEX. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-13 20:14:20 Najpierw piszesz wz贸r \frac{1}{\sqrt{2}} (jest poprawny) dopiero potem go zaznaczasz i klikasz TEX, 偶eby doda膰 znaczniki $\frac{1}{\sqrt{2}} $ (W sensie, 偶e ca艂y wz贸r ma by膰 w pojedynczych znacznikach TEX) Tu podejrzewam, 偶e cz臋艣膰 wzoru mia艂e艣 w jednym znaczniku, a cz臋艣膰 w drugim, dlatego skrypt nie zinterpretowa艂 poprawnie. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2014-08-13 20:15:42 przez tumor |
geometria post贸w: 865 | 2014-08-14 09:46:04 Wyszla mi taka macierz: A=$\left[\begin{matrix} 2&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&2 \end{matrix}\right]$$\left[\begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right]$$\left[\begin{matrix} cos\alpha&0&sin\alpha \\ 0&1&0 \\ -sin\alpha&0&cos\alpha \end{matrix}\right]$$\left[\begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right]$=$\left[\begin{matrix} 2cos\alpha&\sqrt{2}sin\alpha&\sqrt{2}sin\alpha \\ \sqrt{2}sin\alpha&1-cos\alpha&-1-cos\alpha \\ -\sqrt{2}sin\alpha&1+cos\alpha&-1+cos\alpha \end{matrix}\right]$ Moglbym prosic o sprawdzenie? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-14 10:28:49 Chyba 偶artujesz. Za skomplikowana na sprawdzanie. :) Ale zauwa偶, 偶e mamy warunki z zadania, kt贸re mo偶emy sprawdzi膰. Zastosuj przekszta艂cenie na kilku dowolnych, najlepiej liniowo niezale偶nych wektorach, np (1,2,3), (1,0,1) etc, sprawd藕, czy dzia艂a jak powinno, to znaczy zwi臋ksza d艂ugo艣膰. We藕 wektor z prostej, kt贸ra ma by膰 podprzestrzeni膮 dla warto艣ci w艂asnej, i sprawd藕, czy rzeczywi艣cie jego obraz jest odpowiedni. We藕 wektor z p艂aszczyzny prostopad艂ej. Ma si臋 zmieni膰 jego kierunek, zwrot i warto艣膰, ale ma pozosta膰 na p艂aszczy藕nie prostopad艂ej. ;) W ten spos贸b sprawdzasz, czy przekszta艂cenie robi to, co robi膰 mia艂o. Bo mno偶y膰 macierzy to ja nie b臋d臋, za du偶o liczb. |
geometria post贸w: 865 | 2014-08-14 11:00:53 Moze zle sie wyrazilem piszac prosze o sprawdzenie. Bardziej chodzilo mi o poprawnosc tych macierzy (wedlug wczesniejszego wzoru). Dziekuje za pomoc. :) |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj