Inne, zadanie nr 2552

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2014-08-02 19:16:42 Pogubilem sie z tymi obrotami szczerze mowiac. Moglbym poprosic o pokazanie jak to wyglada?

adamw88 postów: 8	2014-08-02 19:43:12 To przekształcenie, które podaliśmy możemy złożyć z dowolnym obrotem dookoła tej prostej, aby pozostała przekształceniem o zadanej postaci.

tumor postów: 8070	2014-08-02 20:55:40 Obroty o kąt $\alpha$ względem osi to $\left[\begin{matrix} cos\alpha &-sin \alpha&0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$ $\left[\begin{matrix} cos\alpha&0 &-sin \alpha \\ 0&1&0 \\ sin\alpha & 0& cos\alpha \end{matrix}\right]$ $\left[\begin{matrix} 1&0&0 \\0 & cos\alpha&-sin \alpha \\ 0& sin\alpha & cos\alpha \end{matrix}\right]$ W zadaniu masz pewne przekształcenie liniowe dane macierzą A. Wiesz o tym przekształceniu, że jest podobieństwem. Oznacza to, że jeśli pewne wektory są przekształcone na dwa razy dłuższe (to wiemy z treści), to wszystkie są przekształcane na dwa razy dłuższe. Poza tym wiemy, że kierunek i zwrot zachowują TYLKO wektory leżące na prostej $t[0,1,1], t\in R$, to wiemy z informacji o podprzestrzeni własnej dla wartości 2 (długości wszystkich wektorów się mnożą przez 2). Nasze przekształcenie macierzy A nie może być zatem samym skalowaniem (zwiększeniem długości wszystkich wektorów przy zachowaniu kierunku i zwrotu). Do wyboru jest skalowanie złożone z symetrią płaszczyznową (ale wtedy $E_2$ byłoby płaszczyzną symetrii), skalowanie złożone z dwiema symetriami, skalowanie złożone z trzema symetriami. Korzystamy tu z twierdzenia, że wszystkie izometrie są złożeniami co najwyżej trzech symetrii. Nie interesują nas translacje. Złożenie dwóch symetrii może dać obrót wokół osi. Dlatego nasze odwzorowanie A może być na przykład złożeniem skalowania i obrotu o kąt, czyli dwóch prostszych przekształceń. (tak jak funkcja bywa złożeniem kilku funkcji prostszych do ogarnięcia). Jednakże obrót o dowolny kąt wokół prostej $t[0,1,1]$ może być niezupełnie intuicyjny, czyli niekoniecznie bez wprawy napiszemy dobrze jego macierz. O wiele łatwiej napisać ten obrót jako złożenie 3 prostszych obrotów, czyli obrotów o macierzach takich jak te zapisane wyżej. Narysuj sobie układ współrzędnych. Orientacja jaka tam chcesz. I narysuj w tym układzie wektor $v=[0,1,1]$ (o długości $\sqrt{2}$) oraz punkt o dowolnych współrzędnych $(x,y,z)$ leżący poza prostą $t[0,1,1]$. Chcemy OBRACAĆ ten punkt dookoła prostej. To samo można wykonać obracając najpierw całą przestrzeń WOKÓŁ ox (tak, by wektor v nałożył się na oś oy lub oz, w obu przypadkach to kąt 45 stopni, tylko różne kierunki). Następnie całą przestrzeń wokół oy lub oz (o dowolną ilość stopni, wybór osi zależy od kierunku pierwszego obrotu), a następnie cofnąć ten pierwszy obrót wokół ox, czyli wykonać analogiczny, ale o kąt przeciwny. Takie trzy obroty złożone ze sobą (macierze przemnożone) dają w efekcie obrót wokół prostej $t[0,1,1]$. Zatem A=BCDE, gdzie B jest skalowaniem (razy 2), C i E są obrotami wokół ox o 45 stopni (raz w jedną raz w drugą stronę), a D jest obrotem o $\alpha$ wokół oy lub oz zależnie od tego, gdzie nam wypadł obraz wektora v po pierwszym przekształceniu. :) Umiesz mnożyć macierze, więc dostaniesz macierz A po wymnożeniu 4 prostych macierzy uzyskanych wcześniej. W $R^3$ masz zwyczajną euklidesową geometrię, korzystaj z wyobraźni. Obracaj sobie punkty, wektory, proste, płaszczyzny, przestrzeń. :)

geometria postów: 865	2014-08-13 11:33:21 Chcialbym zapytac jak tutaj zapisac macierz?

tumor postów: 8070	2014-08-13 12:54:02 W TEX? Ja używam przycisku $\left\{\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}\right.$ następnie zastępuję left\{ przez $left[$ a right. przez $right]$ Elementy wiersza oddzielamy znakiem & na przykład a&c&d a wiersze znakiem \\ stąd \left$[\backslash$ begin{matrix} a&c&d \\ b&r&t \\ k&i&u \end{matrix}\right$]$ daje macierz $\left[\begin{matrix} a&c&d \\ b&r&t \\ k&i&u \end{matrix}\right]$

geometria postów: 865	2014-08-13 18:40:06 Chce napisac ulamek: 1 przez pierwiastek z 2. Robie tak: $\frac{1}{$\sqrt{2}$}$ ale nie wychodzi. Gdzie robie blad? tzn. nie widac tego dokladnie co napisalem ale najpierw biore ulamek: w miejsce a pisze 1 w miejsce b chce napisac pierwiastek z 2 uzywajac TEX.

tumor postów: 8070	2014-08-13 20:14:20 Najpierw piszesz wzór \frac{1}{\sqrt{2}} (jest poprawny) dopiero potem go zaznaczasz i klikasz TEX, żeby dodać znaczniki $\frac{1}{\sqrt{2}} $ (W sensie, że cały wzór ma być w pojedynczych znacznikach TEX) Tu podejrzewam, że część wzoru miałeś w jednym znaczniku, a część w drugim, dlatego skrypt nie zinterpretował poprawnie. Wiadomość była modyfikowana 2014-08-13 20:15:42 przez tumor

geometria postów: 865	2014-08-14 09:46:04 Wyszla mi taka macierz: A=$\left[\begin{matrix} 2&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&2 \end{matrix}\right]$$\left[\begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right]$$\left[\begin{matrix} cos\alpha&0&sin\alpha \\ 0&1&0 \\ -sin\alpha&0&cos\alpha \end{matrix}\right]$$\left[\begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right]$=$\left[\begin{matrix} 2cos\alpha&\sqrt{2}sin\alpha&\sqrt{2}sin\alpha \\ \sqrt{2}sin\alpha&1-cos\alpha&-1-cos\alpha \\ -\sqrt{2}sin\alpha&1+cos\alpha&-1+cos\alpha \end{matrix}\right]$ Moglbym prosic o sprawdzenie?

tumor postów: 8070	2014-08-14 10:28:49 Chyba żartujesz. Za skomplikowana na sprawdzanie. :) Ale zauważ, że mamy warunki z zadania, które możemy sprawdzić. Zastosuj przekształcenie na kilku dowolnych, najlepiej liniowo niezależnych wektorach, np (1,2,3), (1,0,1) etc, sprawdź, czy działa jak powinno, to znaczy zwiększa długość. Weź wektor z prostej, która ma być podprzestrzenią dla wartości własnej, i sprawdź, czy rzeczywiście jego obraz jest odpowiedni. Weź wektor z płaszczyzny prostopadłej. Ma się zmienić jego kierunek, zwrot i wartość, ale ma pozostać na płaszczyźnie prostopadłej. ;) W ten sposób sprawdzasz, czy przekształcenie robi to, co robić miało. Bo mnożyć macierzy to ja nie będę, za dużo liczb.

geometria postów: 865	2014-08-14 11:00:53 Moze zle sie wyrazilem piszac prosze o sprawdzenie. Bardziej chodzilo mi o poprawnosc tych macierzy (wedlug wczesniejszego wzoru). Dziekuje za pomoc. :)

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj