logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4870

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mate_matykaa
postów: 117
2016-10-15 19:15:34

zbadaj zbieznosc punktową i jednostajną ciągu funkcyjnego, narysuj wykres kilku pierwszych wyrazów ciągu
$f_{n}$=x$(cosx)^{n}$ , x$\in$ [0,$\pi$/2]

powiem tyle, ze kompletnie nie wiem od czego zacząć zeby to zrobic, bo tak na prawde jakichs zadań nie robilismy na zajęciach, a jakims cudem mamy to zrobic i umieć ;/


mate_matykaa
postów: 117
2016-10-15 19:18:27

wiem tyle, że $f_{n}$(0)=0, $f_{n}$($\pi$/2)=0, czyli jest to funkcja graniczna=0 ? (jak to zapisać?) nawet nie wiem czy to potrzebne jest;/


tumor
postów: 8070
2016-10-15 19:45:03

Weź jakiś x. Już mamy załatwione x=0 oraz $x=\frac{\pi}{2}$, no ale pozostają wszystkie pomiędzy nimi.

Jeśli $x\in (0, \frac{\pi}{2})$, to $f_n(x)=xcos^nx$

Zauważ, że jeśli będziemy dla ustalonego x zwiększać n, to całość maleje do 0 (bowiem podnosimy liczbę dodatnią, mniejszą od 1, do coraz wyższych potęg naturalnych).

Wobec gdybyśmy mieli taki ciąg $f_1(x),f_2(x),f_3(x),...$ to jego granicą byłoby 0 dla każdego x z przedziału [0, $\frac{\pi}{2}]$.
Skoro liczymy dla każdego punktu x oddzielnie tę granicę, a dopiero potem łączymy je w funkcję, to taka granica nosi nazwę punktowej.
Tu to funkcja stała równa 0 (bo dla każdego x z interesującego nas przedziału).

----

Teraz krótko o "odległości" między dwiema funkcjami. Gdy masz dwa wykresy dla tej samej dziedziny D, powiedzmy funkcji f i g, możemy rozważać $sup_D |f(x)-g(x)|$, czyli kres górny różnic między f i g dla poszczególnych punktów dziedziny D.

Podobnie dla ciągu funkcji $f_n$ możemy rozważać
$sup_D |f(x)-f_n(x)|$, czyli w pewnym sensie "odległości" między kolejnymi funkcjami $f_n$ a funkcją f. Niech to f oznacza granicę punktową ciągu $f_n$, którą podaliśmy sobie wyżej.

Jeśli odległości te maleją do zera, czyli ciąg supremów ma granicę 0
$\lim_{n \to \infty }sup_D |f(x)-f_n(x)|=0$
to zbieżność jest jednostajna. W każdym innym przypadku nie jest jednostajna. Zbieżność punktowa nie musi wcale oznaczać jednostajnej. Punktowa mówi, że dla każdego punktu prędzej czy później (z rosnącym n) zbliżymy się do odpowiedniej granicy, a jednostajna mówi, że to zbliżanie zachodzi w pewnym sensie "jednostajnie", czyli że funkcje zbliżają się do siebie także w tych miejscach, gdzie mają do siebie najdalej.

Taki przykład. Weźmy $f_n=arcctg(x+n)$
Funkcja $arcctg(x)$ jest w niektórych miejscach dowolnie bliska 0, w innych dowolnie bliska $\pi$. Podobnie nasze funkcje $f_n$. Ale te funkcje tworzymy tak, że wyjściową przesuwamy coraz bardziej w lewo. Czyli te punkty, które miały wartości dalsze od 0, mają dla rosnącego n wartości coraz bliższe 0. I tu także granicą punktową jest $f(x)=0$.
Jednakże zawsze będą istnieć punkty (to znaczy, gdy dziedzinę weźmiemy np całe R, bo dla przedziału ograniczonego nie jest to prawdą) dla których wartości będą dowolnie bliskie $\pi$. Czyli, intuicyjnie, funkcja opada do 0 najpierw w jednych miejscach, a gdzie indziej jest ciągle od 0 tak daleko jak na początku. Tak rozumiemy niejednostajność.




mate_matykaa
postów: 117
2016-10-15 20:11:22

czyli z tego pierwszego wynika ze ten ciąg jest zbieżny punktowo?


tumor
postów: 8070
2016-10-15 20:19:05

Punktowo zbieżny jest każdy ciąg funkcyjny, w którym dla każdego x dziedziny zbieżny jest $f_n(x)$.

Niektóre ciągi zbieżne punktowo są jeszcze zbieżne jednostajnie, gdy spełniony jest warunek z supremum.




mate_matykaa
postów: 117
2016-10-15 20:40:10

ok w końcu jakos to zrozumiałam ..
tylko, że teraz mam problem z tym wykresem, np gdybym chciała narysowac trzech pierwszych wyrazów ciągu? to jak to bedzie wyglądac i czy przy tym wykresie ma być tez wykres zwykłej cosinusoidy dla przedziału [0,$\pi$/2 ] ?


tumor
postów: 8070
2016-10-15 21:01:24

Użyj jakiejś strony z wykresami online.

Narysuj wykres funkcji
$xcosx$
$xcos^2x$
$xcos^3x$
$xcos^{10}x$
$xcos^{100}x$
bierzemy pod uwagę tylko przedział, o którym mowa w zadaniu. Zauważ, jak się cały wykres coraz bardziej się rozpłaszcza (nie idealnie tak samo w każdym punkcie, ale ten punkt, który jest najdalej od osi OX, z każdą potęgo jest bliżej)


mate_matykaa
postów: 117
2016-10-15 21:12:22

geogebra bedzie dobra? tam zrobiłam i coś wyszło:)


mate_matykaa
postów: 117
2016-10-15 21:35:21

a gdy mam jeszcze znaleźć sobie jakikolwiek argument i do niego zapisać wzór tego ciągu i zaznaczyc na wykresie, to zaznaczam i szukam na tych wykresach co poprzednio narysowałam? to tym przykładem może byc x=0,5 i jak zaznaczam w geogebrze na wykresie przy x*cos$x^{3}$ to wychodzi mi y=0,34, ale jak mam zapisac wzór?


tumor
postów: 8070
2016-10-15 21:44:50

Pewnie. Ładnie pokaże.

A możesz to samo zrobić dla wykresów
$f_n(x)=cos^nx$ dla przedziału (0,1).
Mimo iż granicą punktową w tym przedziale jest też 0, to jednak każdy z wykresów f_n będzie miał najwyższy punkt równie daleko od osi OX, nie będą się te wykresy jednostajnie zniżać.

---

W liceum były ciągi. Na studiach też już były ciągi. Dla x=0,5 mamy ciąg $0,5cos(0,5)$
$0,5cos^2(0,5)$
$0,5cos^3(0,5)$
$0,5cos^4(0,5)$
$0,5cos^5(0,5)$
i tak dalej. Każdy z tych punktów leży na innym wykresie


---

Uwaga
Nie myl $xcos^3x$ z $xcosx^3$

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj