Analiza matematyczna, zadanie nr 4870
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
mate_matykaa postów: 117 | 2016-10-15 19:15:34 zbadaj zbieznosc punktową i jednostajną ciągu funkcyjnego, narysuj wykres kilku pierwszych wyrazów ciągu $f_{n}$=x$(cosx)^{n}$ , x$\in$ [0,$\pi$/2] powiem tyle, ze kompletnie nie wiem od czego zacząć zeby to zrobic, bo tak na prawde jakichs zadań nie robilismy na zajęciach, a jakims cudem mamy to zrobic i umieć ;/ |
mate_matykaa postów: 117 | 2016-10-15 19:18:27 wiem tyle, że $f_{n}$(0)=0, $f_{n}$($\pi$/2)=0, czyli jest to funkcja graniczna=0 ? (jak to zapisać?) nawet nie wiem czy to potrzebne jest;/ |
tumor postów: 8070 | 2016-10-15 19:45:03 Weź jakiś x. Już mamy załatwione x=0 oraz $x=\frac{\pi}{2}$, no ale pozostają wszystkie pomiędzy nimi. Jeśli $x\in (0, \frac{\pi}{2})$, to $f_n(x)=xcos^nx$ Zauważ, że jeśli będziemy dla ustalonego x zwiększać n, to całość maleje do 0 (bowiem podnosimy liczbę dodatnią, mniejszą od 1, do coraz wyższych potęg naturalnych). Wobec gdybyśmy mieli taki ciąg $f_1(x),f_2(x),f_3(x),...$ to jego granicą byłoby 0 dla każdego x z przedziału [0, $\frac{\pi}{2}]$. Skoro liczymy dla każdego punktu x oddzielnie tę granicę, a dopiero potem łączymy je w funkcję, to taka granica nosi nazwę punktowej. Tu to funkcja stała równa 0 (bo dla każdego x z interesującego nas przedziału). ---- Teraz krótko o "odległości" między dwiema funkcjami. Gdy masz dwa wykresy dla tej samej dziedziny D, powiedzmy funkcji f i g, możemy rozważać $sup_D |f(x)-g(x)|$, czyli kres górny różnic między f i g dla poszczególnych punktów dziedziny D. Podobnie dla ciągu funkcji $f_n$ możemy rozważać $sup_D |f(x)-f_n(x)|$, czyli w pewnym sensie "odległości" między kolejnymi funkcjami $f_n$ a funkcją f. Niech to f oznacza granicę punktową ciągu $f_n$, którą podaliśmy sobie wyżej. Jeśli odległości te maleją do zera, czyli ciąg supremów ma granicę 0 $\lim_{n \to \infty }sup_D |f(x)-f_n(x)|=0$ to zbieżność jest jednostajna. W każdym innym przypadku nie jest jednostajna. Zbieżność punktowa nie musi wcale oznaczać jednostajnej. Punktowa mówi, że dla każdego punktu prędzej czy później (z rosnącym n) zbliżymy się do odpowiedniej granicy, a jednostajna mówi, że to zbliżanie zachodzi w pewnym sensie "jednostajnie", czyli że funkcje zbliżają się do siebie także w tych miejscach, gdzie mają do siebie najdalej. Taki przykład. Weźmy $f_n=arcctg(x+n)$ Funkcja $arcctg(x)$ jest w niektórych miejscach dowolnie bliska 0, w innych dowolnie bliska $\pi$. Podobnie nasze funkcje $f_n$. Ale te funkcje tworzymy tak, że wyjściową przesuwamy coraz bardziej w lewo. Czyli te punkty, które miały wartości dalsze od 0, mają dla rosnącego n wartości coraz bliższe 0. I tu także granicą punktową jest $f(x)=0$. Jednakże zawsze będą istnieć punkty (to znaczy, gdy dziedzinę weźmiemy np całe R, bo dla przedziału ograniczonego nie jest to prawdą) dla których wartości będą dowolnie bliskie $\pi$. Czyli, intuicyjnie, funkcja opada do 0 najpierw w jednych miejscach, a gdzie indziej jest ciągle od 0 tak daleko jak na początku. Tak rozumiemy niejednostajność. |
mate_matykaa postów: 117 | 2016-10-15 20:11:22 czyli z tego pierwszego wynika ze ten ciąg jest zbieżny punktowo? |
tumor postów: 8070 | 2016-10-15 20:19:05 Punktowo zbieżny jest każdy ciąg funkcyjny, w którym dla każdego x dziedziny zbieżny jest $f_n(x)$. Niektóre ciągi zbieżne punktowo są jeszcze zbieżne jednostajnie, gdy spełniony jest warunek z supremum. |
mate_matykaa postów: 117 | 2016-10-15 20:40:10 ok w końcu jakos to zrozumiałam .. tylko, że teraz mam problem z tym wykresem, np gdybym chciała narysowac trzech pierwszych wyrazów ciągu? to jak to bedzie wyglądac i czy przy tym wykresie ma być tez wykres zwykłej cosinusoidy dla przedziału [0,$\pi$/2 ] ? |
tumor postów: 8070 | 2016-10-15 21:01:24 Użyj jakiejś strony z wykresami online. Narysuj wykres funkcji $xcosx$ $xcos^2x$ $xcos^3x$ $xcos^{10}x$ $xcos^{100}x$ bierzemy pod uwagę tylko przedział, o którym mowa w zadaniu. Zauważ, jak się cały wykres coraz bardziej się rozpłaszcza (nie idealnie tak samo w każdym punkcie, ale ten punkt, który jest najdalej od osi OX, z każdą potęgo jest bliżej) |
mate_matykaa postów: 117 | 2016-10-15 21:12:22 geogebra bedzie dobra? tam zrobiłam i coś wyszło:) |
mate_matykaa postów: 117 | 2016-10-15 21:35:21 a gdy mam jeszcze znaleźć sobie jakikolwiek argument i do niego zapisać wzór tego ciągu i zaznaczyc na wykresie, to zaznaczam i szukam na tych wykresach co poprzednio narysowałam? to tym przykładem może byc x=0,5 i jak zaznaczam w geogebrze na wykresie przy x*cos$x^{3}$ to wychodzi mi y=0,34, ale jak mam zapisac wzór? |
tumor postów: 8070 | 2016-10-15 21:44:50 Pewnie. Ładnie pokaże. A możesz to samo zrobić dla wykresów $f_n(x)=cos^nx$ dla przedziału (0,1). Mimo iż granicą punktową w tym przedziale jest też 0, to jednak każdy z wykresów f_n będzie miał najwyższy punkt równie daleko od osi OX, nie będą się te wykresy jednostajnie zniżać. --- W liceum były ciągi. Na studiach też już były ciągi. Dla x=0,5 mamy ciąg $0,5cos(0,5)$ $0,5cos^2(0,5)$ $0,5cos^3(0,5)$ $0,5cos^4(0,5)$ $0,5cos^5(0,5)$ i tak dalej. Każdy z tych punktów leży na innym wykresie --- Uwaga Nie myl $xcos^3x$ z $xcosx^3$ |
strony: 1 2 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj