Teoria liczb, zadanie nr 4926
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
geometria postów: 865 | 2016-11-04 14:48:09 1. Podaj ceche podzielnosci przez 2 w systemie o podstawie a) 6 b) 9 2. W jakich systemach jest prawdziwa "dziesietna" cecha podzielnosci przez 3? |
tumor postów: 8070 | 2016-11-04 14:59:42 2. W takich że podstawa s systemu przystaje do 1 modulo 3. 1. a) oczywista, analogiczna do systemu dziesiętnego b) gdy suma cyfr jest podzielna przez 2 ----- Przede wszystkim robiąc takie zadania zrozum najpierw, skąd się biorą cechy podzielności w systemie dziesiętnym. Podzielność przez 2 w systemie dziesiętnym wymaga tylko by ostatnia cyfra była parzysta, bo przedostatnią mnożymy przez 10, trzecią od końca przez 100 etc, liczba zaokrąglona do dziesiątek musi zatem być parzysta. Podzielność przez 3 i przez 9 wynika stąd, że 10 przystaje do 1 i modulo 3 i modulo 9. Wobec tego 10 ma taką samą resztę z dzielenia przez 3 (i przez 9) jak 1 20 ma ... jak 2 30 ... 3 etc Podobnie 100 jak 1, 200 jak 2. ------ Skoro 9 przystaje do 1 modulo 2 (także modulo 4, modulo 8), to w systemie dziewiątkowym parzystość (podzielność przez 4, podzielność przez 8) sprawdzamy sumą cyfr. Jeśli podstawa s systemu jest parzysta (albo szerzej, podzielna przez liczbę k) to sprawdzenie parzystości w tym systemie (czy też podzielności przez k) sprowadza się do zbadania ostatniej cyfry, bo zaokrąglenie do drugiej cyfry przed przecinkiem zawsze tę parzystość (podzielność) daje. |
geometria postów: 865 | 2016-11-05 17:01:17 3. Jaką resztę przy dzieleniu przez 3, a jaką przez 18 daje liczba: $123450543210123_{6}$ |
tumor postów: 8070 | 2016-11-05 22:41:16 No i co gupio pytasz? Przez 3 się dzieli bez reszty, bo $123450543210120_6$ się dzieli przez 3 (skoro się dzieli przez 6) Natomiast $123450543210100_6$ dzieli się przez 36, wobec tego $123450543210123_6$ ma taką resztę z dzielenia przez 18 jak liczba $23_6$ Nie potrzeba było żadnej więcej wiedzy niż w poprzednim zadaniu i jestem rozczarowany, że czekasz bez samodzielnych prób. Wiadomość była modyfikowana 2016-11-06 11:58:38 przez tumor |
geometria postów: 865 | 2016-11-06 11:35:48 2. Czyli podstawa $p$ systemu przy dzieleniu przez 3 daje reszte 1 co mozna zapisac $p\equiv 1 (mod 3)$. Tak? 3. Liczba $1234505432101230_{6}$ dzieli sie przez 6, bo na koncu jest 0. To przenosi sie na dzielniki podstawy, czyli dzielniki 6 zatem ta liczba jest rowniez podzielna przez 2 i przez 3. Tak to rozumiem. Ale dlaczego rozpatrujemy liczbe $1234505432101230_{6}$ a nie $123450543210123_{6}$, bo taka jest w zadaniu? |
tumor postów: 8070 | 2016-11-06 12:00:35 jezusienazareński, literówka była 3. Gdy rozpatrujesz w systemie dziesiętnym podzielność liczby 20398801089324089236 przez 2,4,8,16 to $20398801089324089236 \equiv 6 (mod 2)$ bo liczba 20398801089324089230 dzieli się przez 2 bez reszty $20398801089324089236 \equiv 36 (mod 4)$ bo liczba 20398801089324089200 dzieli się przez 4 bez reszty $20398801089324089236 \equiv 236 (mod 8)$ bo liczba 20398801089324089000 dzieli się przez 8 bez reszty $20398801089324089236 \equiv 9236 (mod 16)$ bo liczba 20398801089324080000 dzieli się przez 16 bez reszty Robimy tak, bo 10 dzieli się przez 2 (ale nie przez 4) 100 dzieli się przez 4 (ale nie przez 8) 1000 dzieli się przez 8 (ale nie przez 16) etc --- Zupełnie analogicznie będzie z podzielnością przez 2,4,8 oraz 3,9,27 w systemie o podstawie 6. 2. tak |
geometria postów: 865 | 2016-11-06 12:25:56 3. Ja patrzylbym na ostatnie cyfry tej liczby (korzystal z cech podzielnosci). |
tumor postów: 8070 | 2016-11-06 12:41:45 3. A ja opisałem coś innego, tak? |
geometria postów: 865 | 2016-11-06 17:42:55 4. Czy zachodzi podzielnosc? a) 12345 przez 5 b) $12345_{6}$ przez 5 c) $12345_{6}$ przez 3 a) tak, bo ostatnia cyfra jest 5 (5|5) b) tak, bo suma cyfr tej liczby (1+2+3+4+5=15) dzieli sie przez 5 (5|15) (jak (p-1) to suma cyfr, gdzie p to podstawa systemu) c) tutaj nie wiem (z jakiej cechy podzielnosci skorzystac? a moze nie jest podzielna?) Wiadomość była modyfikowana 2016-11-06 20:03:56 przez geometria |
tumor postów: 8070 | 2016-11-06 19:32:07 a) ok b) ok c) Bardzo polecam spróbować wymyślić w systemie dziesiętnym cechy podzielności przez 7,11,13 (także inne od cechy podzielności wspólnej dla tych liczb) i zastanowić się ogólnie, co my wykorzystujemy dla cech podzielności. Zrozumiesz wtedy, dlaczego dla niektórych liczb cechy podzielności będą łatwe (oczywiście zależnie od systemu) jak sprawdzenie ostatnich cyfr czy sumy cyfr, a dla niektórych trudne. Pokażę Ci coś przy cesze podzielności przez 11 $10 \equiv -1$ mod 11 ale $100 \equiv 1$ mod 11 potem $1000 \equiv -1$ mod 11 ale $10000 \equiv 1$ mod 11 (i będzie się tak dziać dalej, co polecam dla treningu formalnie udowodnić, co jest łatwe) Cóż to zatem oznacza? Mając liczbę 239848239879821397 wystarczy cyfry naprzemiennie dodawać i odejmować. Jeśli wynik wyjdzie podzielny przez 11, to cała liczba podzielna jest przez 11. Można to zapisać kongruencjami $7 \equiv 7$ (mod 11) $90 \equiv -9$ (mod 11) $300 \equiv 3$ (mod 11) $1000 \equiv -1$ (mod 11) Widzisz, skąd naprzemienne dodawanie i odejmowanie? W c) masz po pierwsze błąd, bo w systemie trójkowym nie ma tylu cyfr. Jeśli już poprawisz błąd i będziesz mieć poprawny przykład, to dla mniej banalnych cech podzielności znajdź po prostu najłatwiejsze do obliczeń kongruencje. |
strony: 1 2 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj