logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria liczb, zadanie nr 4926

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 865
2016-11-04 14:48:09

1. Podaj ceche podzielnosci przez 2 w systemie o podstawie
a) 6
b) 9
2. W jakich systemach jest prawdziwa "dziesietna" cecha podzielnosci przez 3?


tumor
postów: 8070
2016-11-04 14:59:42

2. W takich że podstawa s systemu przystaje do 1 modulo 3.

1. a) oczywista, analogiczna do systemu dziesiętnego
b) gdy suma cyfr jest podzielna przez 2

-----

Przede wszystkim robiąc takie zadania zrozum najpierw, skąd się biorą cechy podzielności w systemie dziesiętnym.

Podzielność przez 2 w systemie dziesiętnym wymaga tylko by ostatnia cyfra była parzysta, bo przedostatnią mnożymy przez 10, trzecią od końca przez 100 etc, liczba zaokrąglona do dziesiątek musi zatem być parzysta.

Podzielność przez 3 i przez 9 wynika stąd, że 10 przystaje do 1 i modulo 3 i modulo 9. Wobec tego
10 ma taką samą resztę z dzielenia przez 3 (i przez 9) jak 1
20 ma ... jak 2
30 ... 3
etc
Podobnie 100 jak 1, 200 jak 2.

------

Skoro 9 przystaje do 1 modulo 2 (także modulo 4, modulo 8), to w systemie dziewiątkowym parzystość (podzielność przez 4, podzielność przez 8) sprawdzamy sumą cyfr.

Jeśli podstawa s systemu jest parzysta (albo szerzej, podzielna przez liczbę k) to sprawdzenie parzystości w tym systemie (czy też podzielności przez k) sprowadza się do zbadania ostatniej cyfry, bo zaokrąglenie do drugiej cyfry przed przecinkiem zawsze tę parzystość (podzielność) daje.



geometria
postów: 865
2016-11-05 17:01:17

3. Jaką resztę przy dzieleniu przez 3, a jaką przez 18 daje liczba: $123450543210123_{6}$


tumor
postów: 8070
2016-11-05 22:41:16

No i co gupio pytasz? Przez 3 się dzieli bez reszty, bo
$123450543210120_6$ się dzieli przez 3 (skoro się dzieli przez 6)

Natomiast
$123450543210100_6$ dzieli się przez 36, wobec tego
$123450543210123_6$ ma taką resztę z dzielenia przez 18 jak liczba $23_6$

Nie potrzeba było żadnej więcej wiedzy niż w poprzednim zadaniu i jestem rozczarowany, że czekasz bez samodzielnych prób.

Wiadomość była modyfikowana 2016-11-06 11:58:38 przez tumor

geometria
postów: 865
2016-11-06 11:35:48

2. Czyli podstawa $p$ systemu przy dzieleniu przez 3 daje reszte 1 co mozna zapisac $p\equiv 1 (mod 3)$. Tak?

3. Liczba $1234505432101230_{6}$ dzieli sie przez 6, bo na koncu jest 0. To przenosi sie na dzielniki podstawy, czyli dzielniki 6 zatem ta liczba jest rowniez podzielna przez 2 i przez 3. Tak to rozumiem. Ale dlaczego rozpatrujemy liczbe $1234505432101230_{6}$ a nie $123450543210123_{6}$, bo taka jest w zadaniu?


tumor
postów: 8070
2016-11-06 12:00:35

jezusienazareński, literówka była

3.
Gdy rozpatrujesz w systemie dziesiętnym podzielność liczby
20398801089324089236
przez 2,4,8,16 to
$20398801089324089236 \equiv 6 (mod 2)$
bo liczba 20398801089324089230 dzieli się przez 2 bez reszty

$20398801089324089236 \equiv 36 (mod 4)$
bo liczba 20398801089324089200 dzieli się przez 4 bez reszty

$20398801089324089236 \equiv 236 (mod 8)$
bo liczba 20398801089324089000 dzieli się przez 8 bez reszty

$20398801089324089236 \equiv 9236 (mod 16)$
bo liczba 20398801089324080000 dzieli się przez 16 bez reszty

Robimy tak, bo 10 dzieli się przez 2 (ale nie przez 4)
100 dzieli się przez 4 (ale nie przez 8)
1000 dzieli się przez 8 (ale nie przez 16) etc

---

Zupełnie analogicznie będzie z podzielnością przez 2,4,8 oraz 3,9,27 w systemie o podstawie 6.



2. tak



geometria
postów: 865
2016-11-06 12:25:56

3. Ja patrzylbym na ostatnie cyfry tej liczby (korzystal z cech podzielnosci).


tumor
postów: 8070
2016-11-06 12:41:45

3. A ja opisałem coś innego, tak?


geometria
postów: 865
2016-11-06 17:42:55

4. Czy zachodzi podzielnosc?
a) 12345 przez 5
b) $12345_{6}$ przez 5
c) $12345_{6}$ przez 3

a) tak, bo ostatnia cyfra jest 5 (5|5)
b) tak, bo suma cyfr tej liczby (1+2+3+4+5=15) dzieli sie przez 5 (5|15) (jak (p-1) to suma cyfr, gdzie p to podstawa systemu)
c) tutaj nie wiem (z jakiej cechy podzielnosci skorzystac? a moze nie jest podzielna?)

Wiadomość była modyfikowana 2016-11-06 20:03:56 przez geometria

tumor
postów: 8070
2016-11-06 19:32:07

a) ok
b) ok

c) Bardzo polecam spróbować wymyślić w systemie dziesiętnym cechy podzielności przez 7,11,13 (także inne od cechy podzielności wspólnej dla tych liczb) i zastanowić się ogólnie, co my wykorzystujemy dla cech podzielności.

Zrozumiesz wtedy, dlaczego dla niektórych liczb cechy podzielności będą łatwe (oczywiście zależnie od systemu) jak sprawdzenie ostatnich cyfr czy sumy cyfr, a dla niektórych trudne.

Pokażę Ci coś przy cesze podzielności przez 11

$10 \equiv -1$ mod 11
ale
$100 \equiv 1$ mod 11
potem
$1000 \equiv -1$ mod 11
ale
$10000 \equiv 1$ mod 11
(i będzie się tak dziać dalej, co polecam dla treningu formalnie udowodnić, co jest łatwe)

Cóż to zatem oznacza? Mając liczbę
239848239879821397 wystarczy cyfry naprzemiennie dodawać i odejmować. Jeśli wynik wyjdzie podzielny przez 11, to cała liczba podzielna jest przez 11.

Można to zapisać kongruencjami
$7 \equiv 7$ (mod 11)
$90 \equiv -9$ (mod 11)
$300 \equiv 3$ (mod 11)
$1000 \equiv -1$ (mod 11)
Widzisz, skąd naprzemienne dodawanie i odejmowanie?

W c) masz po pierwsze błąd, bo w systemie trójkowym nie ma tylu cyfr. Jeśli już poprawisz błąd i będziesz mieć poprawny przykład, to dla mniej banalnych cech podzielności znajdź po prostu najłatwiejsze do obliczeń kongruencje.


strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj