Algebra, zadanie nr 5596

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2017-11-13 16:41:20 1. Czy istnieje homomorfizm grup $f:G\rightarrow H$? a) $G=(Z, +), H=(Q, +), f(1)=7$ Czyli $(\forall_{a, b\in Z}) f(a+b)=f(a)+f(b) $. $f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)=f(0)+7.$ Ale to mi za duzo chyba nie pomoze.

tumor postów: 8070	2017-11-13 18:03:50

geometria postów: 865	2017-11-16 14:10:57 Zatem $f(0)=0$ $f(1)=0+7=7$ $f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2\cdot f(1)=2\cdot 7=14$ $f(3)=f(1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3\cdot f(1)=3\cdot 7=21$ $...$ $f(n)=f(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n})=\underbrace{f(1)+f(1)+\ldots+f(1)}_{n}=n\cdot f(1)=n\cdot 7=7n$ Dalej korzystam z tego, ze $f(-n)=-f(n)=-7n$. Ostatecznie ten homomorfizm to $f(n)=7n, n\in Z$. Czy trzeba to jakos udowadniac?

tumor postów: 8070	2017-11-17 21:56:24

geometria postów: 865	2017-11-20 21:59:21 b) $G=(Z, +), H=(Z, +), f(2)=7$ $f(0)=0$ $f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=7$ $f(1)=\frac{7}{2}\notin Z$. Zatem taki homomorfizm nie istnieje. Czy mozna tak stwierdzic na powyzszej podstawie?

tumor postów: 8070	2017-11-21 02:28:00 Tak, to jest ok.

geometria postów: 865	2017-11-21 15:34:19 c) $G=(Z_{4}, +_{4}), H=(Z_{5}, +_{5}), f(1)=1$ Ponadto mam zdefiniowane dodawanie modulo $n$ jako $a+_{n} b=r_{n}(a+b)$. Zatem $Z_{4}=\{0,1,2,3\}, Z_{5}=\{0,1,2,3,4\}$ $f(0)=0$ $f(1)=1$ $f(2)=f(1+_{4} 1)=f(1)+_{5} f(1)=1+_{5} 1=r_{5}(2)=2$ (rezta z dzielenia 2 przez 5) $f(3)=f(1+_{4} 1+_{4} 1)=f(1)+_{5} f(1)+_{5} f(1)=1+_{5} 1+_{5} 1=r_{5}(3)=3$ Czyli ten homomorfizm jest okreslony tak jak pozwyzej (wymienione wartosci dla wszystkich argumentow), ogolniej $f(n)=n$ dla $n\in Z_{4}$. Ale jak wykazac, ze to homomorfizm? Wowczas trzeba pokazac, ze $f(a+_{4} b)=f(a)+_{5} f(b)$.

tumor postów: 8070	2017-11-22 02:26:08

geometria postów: 865	2017-11-23 21:48:02 Ok. d) $f: (R\backslash \{0\}, \cdot)\rightarrow (R, +), f(1)=7$. $e_{R\backslash \{0\}}=1, e_{R}=0$ Nie istnieje taki homomorfizm $f$, bo $f(1)=0$ sprzecznosc z $f(1)=7$, $0\neq 7$.

tumor postów: 8070	2017-11-24 08:31:05 tak

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj